高一數學知識點關於冪函式的總結

冪函式定義：

形如y=x^a(a為常數)的函式，即以底數為自變數冪為因變數，指數為常量的函式稱為冪函式。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函式的值域的不同情況如下：在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函式的值域。

性質：

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函式的定義域是R，如果q是偶數，函式的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函式的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數;

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0的所有實數。

在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函式的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況。

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函式為單調遞增的，而a小於0時，冪函式為單調遞減函式。

(3)當a大於1時，冪函式圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函式圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函式過(0，0);a小於0，函式不過(0，0)點。

(6)顯然冪函式無界。

趣談平分

把餅那樣的物體分成2等份，可以採用一個人切而讓另一個人挑的辦法，這樣分的優點是很明顯的。在第一個人看來，他必須把餅分成他認為價值相等的兩部分，才能保證得到他應得的那一部分；而第二個人只要選取價值大的那一部分，或在兩部分價值相等的情況下任選其中一部分，就能保證他得到他至少應得的那一部分。在這裡，我們假定物體具有在分割時不會損失它的總價值。

若要把一個物體分成3或若干等份，我們可以採用這樣的方法：這裡以5個人分配來說明，對於任意多個分配者，分法大致是相同的。我們把這5個人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有權利從餅上割下任一部分；乙有把甲所割出的一塊減少的自由，但沒有人強迫他這樣做；然後丙又有減少這一塊的自由，這樣繼續下去。假定最後是戊接觸這塊餅，那麼由戊拿走這塊餅，然後把剩餘的餅在甲乙丙丁四人之間平分。第二輪可一用同樣的步驟把參加的人數減少到三，以此分配下去。現在我們來看，每一個參加分配的人應如何做才能保證自己應得的那一部分歸自己。在第一輪甲割下它認為值1/5的一塊後，很可能沒有人再去碰它而甲就達到值1/5的那一部分；在這種情況下，他沒有做錯。然而，如果有另一個或幾個人減少了這塊餅，那麼最後接觸到他的人就要得到它，所以甲當然認為價值超過/5的餅被留下由4個人平分，而他是這4個人中的一個。在第二輪甲照前面的辦：如果他仍就是第一個，那麼他割下認為有餘下部分1/4價值的那一塊。這個策略還不完全，我們還應指出一個分配者在他不是第一時應怎樣做。假定乙認為甲所個下的部分太大，也就是比他估計的整個餅的1/5大了，那麼他只要把它減少到他認為適當的大小；如果他成為最後一個減少這部分餅的人，他就得到了它，而且並沒有做錯，如果他沒有得到它，那是因為在乙以後又有別的人接觸了它。因而在乙以後的減小者中有一人要得到被乙認為是價值小於1/5的一塊餅，所以乙在下一輪將參加分配他認為價值大於原來4/5的部分。現在方法就清楚了：如果你在任一輪中是n個分配者的第一個，那麼不論放在你面前的是整個餅還是餘下的部分，你總應該割下你認為價值時這部分餅的1/n的一塊；如果你在這一輪中不是第一個，而且你看到由別人割下的一塊比你估計的那部分餅的1/n大，那你就把它減小到1/n；如果割下的你估計的那部分餅的1/n小，那你就不要動它。這個方法保證每一個人得到他認為是應得的部分。 高中地理

在經濟生活中，存在著另一種分配問題：分配的是不能分割的物體，如房子、家畜、傢俱、汽車、藝術品等。例如一筆遺產，包括：一座房子、一座磨坊和一輛汽車，要在享有同等繼承權的四個繼承人甲乙丙丁之間分配，需要一個公正人，請讀者想一想，應如何去做？

1、再次梳理知識，及時查漏補缺

這階段，許多考生備考狀況是雜亂無章，沒有頭緒，心中無底，忐忑不安，效率低下。其實最需做的仍是梳理知識網，查漏補缺。一般來說，在梳理過程中難免會遇到不是很明白的地方，這時需翻書對照，防止概念錯誤。另外，要進行重要和典型問題的解題方法的歸納，只有這樣才能以不變應萬變，這裡要注意各種方法的適用範圍，防止只是形式的簡單套用導致原理錯誤，比如在做數列問題時不要簡單套用連續函式的性質，注意離散和連續函式的區別。

2、適量模擬練習，保持臨考狀態

考前50天一定要有針對性進行套卷訓練，一是通過模擬可以查漏補缺，二是提高應試能力，包括答題技巧，心理調節。建議大家練幾套有標準答案和評分標準的模擬卷(包括近幾年大學聯考卷)，並且自批自改，在模擬練習時一定要了解評分標準，對照評分標準自我修正，提高得分的機會，力爭減少無謂的失分，保證會做的不錯不扣分，即使不完全會做，也應理解多少做多少，增加得分機會。

3、全科規劃意識，突破偏文學科

衝刺階段，一定要有全科規劃意識，大學聯考是看總分的，不管是強勢學科還是弱勢學科都要有相應的時間分配計劃，做到重點學科重點突破。實踐表明後期在記憶性學科上多下功夫，會立竿見影，象語文，英語，文綜，生物等，考生應向這些學科適當傾斜。但是思維性強的學科，如數學，物理，若幾天不做會上手慢，出錯率高，因此在後期也應該安排一定的時間去做去練，保持一個良好的臨考狀態。

4、調整心理狀態，爭取笑到最後

大學聯考臨近，有些考生精神過度緊張，甚至病倒。因此提醒大家，防止兩個極端的`做法，一是徹底放鬆，破壞了長期形成的生物鐘，會適得其反。另一個就是挑燈夜戰，加班加點，導致考前過度疲勞，臨考時打不起精神。建議考生，休息調整是必要的，但必須的是微調，特別要把興奮狀態逐步調整到上午9：00——11：30，下午3：00——5：00。大學聯考前還要注意飲食的科學性和規律性，不能大吃大喝，宜清淡又要保證全面營養，總之，生活有節奏，亦張亦弛，保持心態平穩。同時考前保持必勝的信心是非常必要的，走進考場要信心百倍，即使遇到困難也不要慌張，自我暗示，及時調整，只要大家精心準備，充滿自信，沉著應戰，就一定能笑到最後!

一. 本週教學內容：三角函式的性質及三角恆等變形

【考點梳理】

一、本章內容

1. 角的概念的推廣，弧度制．

2. 任意角的三角函式、單位圓中的三角函式、同角三角函式的基本關係、正弦、餘弦的誘導公式．

3. 兩角和與差的正弦、餘弦、正切，二倍角的正弦、餘弦、正切．

4. 正弦函式、餘弦函式的影象和性質、周期函式、函式y=Asin（ωx ）的影象、正切函式的影象和性質、已知三角函式值求角．

5. 餘弦定理、正弦定理．利用餘弦定理、正弦定理解斜三角形．

二、本章考試要求

1. 理解任意角的概念、弧度制的意義，並能正確地進行弧度和角度的換算．

2. 掌握任意角的三角函式的定義，瞭解餘切、正割、餘割的定義，掌握同角三角函式的基本關係，掌握正弦、餘弦的誘導公式，瞭解周期函式和最小正週期的意義，瞭解奇函式、偶函式的意義．

3. 掌握兩角和與兩角差的正弦、餘弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、餘弦、正切公式．

4. 能正確地運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡、求值和恆等式證明．

5. 瞭解正弦函式、餘弦函式、正切函式的影象和性質，會用“五點法”畫正弦函式、餘弦函式和函式y= Asin（ωx ）的簡圖，理解A、ω、 的意義．

6. 會由已知三角函式值求角，並會用符號

【命題研究】

分析近五年的全國，有關三角函式的內容平均每年有25分，約佔17%．的內容主要有兩方面；其一是考查三角函式的性質和圖象變換；尤其是三角函式的最大值、最小值和週期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函式式的恆等變形，如利用有關公式求值，解決簡單的綜合問題，除了在填空題和選擇題中出現外，解答題的中檔題也經常出現這方面的內容，是命題的一個常考的基礎性的題型．其命題熱點是章節內部的三角函式求值問題，命題新趨勢是跨章節的學科綜合問題．的走勢，體現了新課標的理念，突出了對創新的考查．

如：福建卷的第17題設函式 ，

（2）若函式 的圖象按向量 平移後得到函式 的圖象，求實數 的值．此題“重視拓寬，開闢新領域”，將三角與向量交匯．

【策略】

三角函式是傳統知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、餘弦函式的主體地位，加強了對三角函式的圖象與性質的考查，因此三角函式的性質是本章複習的重點．第一輪複習的重點應放在課本知識的重現上，要注重抓基本知識點的落實、基本的再認識和基本技能的掌握，力求系統化、條理化和網路化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪複習以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近大學聯考試題，但不能上難度．當然，這一部分知識最可能出現的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是餘弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函式性質”的命題，難度以靈活掌握倍角的餘弦公式的變式運用為宜．由於三角函式解答題是基礎題、常規題，屬於容易題的範疇，因此，建議三角函式的複習應控制在課本知識的範圍和難度上，這樣就能夠適應未來大學聯考命題趨勢．總之，三角函式的複習應立足基礎、加強訓練、綜合應用、提高能力．

解答三角函式大學聯考題的一般策略：

（1）發現差異：觀察角、函式運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”．

（2）尋找聯絡：運用相關三角公式，找出差異之間的內在聯絡．

（3）合理轉化：選擇恰當的三角公式，促使差異的轉化．

三角函式恆等變形的基本策略：

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ sin2θ=tanx?cotx=tan45°等．

（2）項的分拆與角的配湊．如分拆項：sin2x 2cos2x=（sin2x cos2x） cos2x=1 cos2x；配湊角：α=（α β）－β，β= － 等．

（3）降次，即二倍角公式降次．

（4）化弦（切）法．將三角函式利用同角三角函式基本關係化成弦（切）．

（5）引入輔助角．asinθ bcosθ= sin（θ ），這裡輔助角 所在象限由a、b的符號確定， 角的值由tan = 確定．

典型例題分析與解答

例1、

解法二：（從“名”入手，異名化同名）

的影象過點 ，且 的最大值為 的解析式；（2）由函式 影象經過平移是否能得到一個奇函式解析：（1） ，解得 ，

所以 ，將 的影象，再向右平移 單位得到 的影象先向上平移1個單位，再向右平移 單位就可以得到奇函式點評：本題考查的是三角函式的圖象和性質等基礎知識，這是大學聯考命題的重點內容，應於以重視．

例3、為使方程 內有解，則 的取值範圍是（ ）

分析一：由方程形式，可把該方程採取換元法，轉化為二次函式：設sinx=t，則原方程化為 ，於是問題轉化為：若關於 的一元二次方程 上有解，求 的取值範圍，解法如下：

分析二： 上的值域．

解法如下：

點評：換元法或方程思想也是大學聯考考查的重點，尤其是計算型試題．

例4、已知向量 的值．

所以 ；

（2） ，所以 ，所以 ，所以點評：本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函式的恆等變換的基本技能，著重考查數學運算能力．平面向量與三角函式結合是大學聯考命題的一個新的亮點．

例5、已知向量 ，向量 ，且 ，

（1）求向量 與向量 的夾角為 ，向量 為 依次成等差數列，求 的取值範圍．

解析：（1）設 ，由 ，有 ①

向量 ，有 ，則 ②

由①、②解得：

（2）由 垂直知 ，

由 ，則 ，

例6、如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其餘的地方種花.若BC=a，∠ABC=

（1）用a， 變化時，求 取最小值時的角解析：（1） ，則

固定，

令

函式 在 上是減函式，於是當 ．

點評：三角函式有著廣泛的應用，本題就是一個典型的範例．通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角函式的符號語言，再將其轉化為我們熟知的函式 的圖象的一條對稱軸方程是（ ）

A.

C. D.

2、下列函式中，以 為週期的函式是（ ）

A.

B.

D.

3、已知 等於（ ）

A.

4、已知 B.

C. D.

5、函式A、 B、 C、 D、

6、如圖，半徑為2的⊙M切直線AB於O點，射線OC從OA出發繞著O點順時針方向旋轉到OB．旋轉過程中，OC交⊙M於P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為 ，那麼 的圖象是（ ）

7、tan15°－cot15°＝（ ）

A. 2 B. C. 4 D.

8、給出下列的命題中，其中正確的個數是（ ）

（1）存在實數α，使sinαcosα=1；

（2）存在實數α，使sinα cosα= ；

（3） 的值域為（ ）

A. B. C. 在下面哪個區間內是增函式（ ）

A. C.

11、若點P ］內

D.

12、定義在R上的函式 即是偶函式又是周期函式，若 的最小正週期是 ，且當 ，則 B. C.

二、填空題

13、 ，且當P點從水面上浮現時開始計算時間，有以下四個結論：

； ，則其中所有正確結論的序號是 ．

15、給出問題：已知 ，試判定 ，去分母整理可得 ， ．故 ，

（1）求函式 的奇偶性．

18、（1）已知： ，求證： 的最小值為0，求x的集合．

20、在 所對的邊分別為 ，

（1）求 ，求 的最大值．

21、已知向量 ，函式 的週期為 ，當22、如圖，足球比賽場的寬度為a米，球門寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場邊線，帶球過人沿直線向前推進．試問：該邊鋒在距乙方底線多遠時起腳射門可命中角的正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形）．

【試題答案】

1、A 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A

7、D 8、B 9、B 10、D 11、B 12、D

13、

17、解：（1） ，

定義域：R，最小正週期為 ；

（2） ，且定義域關於原點對稱，

所以

（2）

當 ，

當

19、解： ，因為 ，有 ，

亦即 ，由 ，

解得 ，

當 ，最大值為0，不合題意，

當 ，最小值為0，

當 時，x的集合為：

（2） ，又 時， ，故 的最大值是 ．

21、解：（1） 且最大值為1，所以 由 ；

（2）由（1）知，令 所以 是 的對稱軸．

22、解：以L為x軸，D點為座標原點，建立直角座標系，

設AB的中點為M，則根據對稱性有

設動點C的座標為 ，記 ，

當且僅當 ，

故該邊鋒在距乙方底線 時起腳射門可命中角的正切值最大．

不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對於任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關係被稱為“全序關係”。

最後，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關係。有限集合間的大小關係是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

經過精心的整理，有關“高一數學學習：集合大小定義的基本要求三”的內容已經呈現給大家，祝大家學習愉快!

學好高中數學也需閱讀積累

閱讀，在語文中要抓住精煉的或生動形象的詞與句，而在數學中，則應抓住關鍵的詞語。比如在八年級課本第一學期第21章第五節反比例函式性質的第一條：“當k>0時，函式影象的兩個分支分別在第一、三象限內，在每個象限內，自變數x逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小。&rdquo 高中歷史;這句話中，關鍵詞語是“在每個象限內”，反比例函式的影象為雙曲線，而這個性質是對於其中某一分支而言，並不是對整個函式來說的。所以在做題時，應注意到這一點。從這一例項來看，我們不難發現閱讀時抓住關鍵詞語的重要性。

積累，在語文中有利於寫作，在數學中有利於解題。積累包括兩方面：一、概念知識，二、錯誤的題目。腦子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解題的突破口，在做較難的題目時，也就得心應手了。積累錯誤的題目，指挑選一些自己平時易錯或難懂的題目，記在本子上，在複習時，翻看這本本子就能更加清楚地瞭解自己在哪些方面還有所欠缺，應特別注意。所以積累對學好數學起著極大的作用。

自主複習最好各科交替進行

大部分割槽縣都將實行全區統考，並將考生成績進行大排隊。這次考試將成為考生填報大學聯考志願的重要參考依據。考生對此非常重視。元旦假期，不少考生計劃把時間都用來補習薄弱科目。

北京老師王梅生建議，在重點複習薄弱學科的同時，考生也要兼顧其他科目。不要在一大段時間內把精力全部用在某一科目上，這樣容易造成頭腦疲勞，影響複習效果。考生最好將各科交替進行，文理科兼顧，強弱科相間，單科與綜合科目結合進行。

此外，考生最好將各科複習時間安排得與考試時間同步。比如，考試第一天上午考語文，下午考數學，第二天上午考綜合，下午考英語。考生這幾天最好上午複習語文與綜合，下午複習數學與英語，這樣有利於在相應的時間對相應科目產生興趣，提高興奮點。

提醒注意的是，考生在考前這幾天，不要打亂原有的生物鐘，儘量別開夜車複習，並注意把學習與休息相結合，保證8小時睡眠和適度體育鍛煉。這樣才能精力充沛，保證複習效果。