八年級數學教案

一、教材分析

本節課選自人教版八年級上冊第14章第二節內容，它是在學生已經掌握了多項式乘法之後，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規律的典型範例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便演算法，而且為以後的因式分解、分式的化簡等內容奠定了基礎，同時也為學習完全平方公式提供了方法.因此，平方差公式作為國中階段的第一個公式，在教學中具有很重要地位，同時也是最基本、用途最廣泛的公式之一.

二、學情分析

1.學生的知識技能基礎：學生在前面的學習中，已經學習了整式的有關內容，並經歷了用字母表示數量關係的過程，有了一定的符號感.經過一個學期的培養，學生已經具備了小組合作、交流的能力.學生剛學過多項式的乘法，已具備學習並運用平方差公式的知識結構，通過創造問題情境，讓學生承擔任務，在探究相應問題中，建立並運用公式，從而使拓展學生知識技能結構成為可能.通過實際問題的探究，學生已感受到多項式乘法運算的重要性，同時，具備了對式的運算基礎“快”“準”的積極心理，學生已具備學習公式的知識與技能結構，通過新課程教學的實施，培養學生具有獨立探索、合作交流的習慣.

2.學生活動經驗基礎：學生已熟練掌握了冪的運算和整式乘法，但在進行多項式乘法運算時常常會出現符號錯誤及漏項等問題;另外，數學公式中字母具有高度概括性、廣泛應用性.

三、教學目標

1.知識目標：經歷平方差公式的探索及推導過程，掌握平方差公式的結構特徵並能熟練應用.

2.能力目標：運用公式進行簡單的運算，獲得一些數學活動的經驗，進一步增強學生的符號感、推理和歸納能力及解決問題的能力.

3.情感目標：讓學生經歷“特殊到一般再到特殊”(即：特例─歸納─猜想─驗證─用數學符號表示解決問題)這一數學活動過程，積累數學活動的經驗，體會數學的簡潔美和數形結合的思想方法.培養他們合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的意識.

通過幾方面的合力，提高學生歸納概括、邏輯推理等核心素養水平.

四、教學重難點

教學重點：體會公式的發現和推導過程，理解公式的本質和結構特徵，能用自己的語言說明公式及其特點;並會運用公式進行簡單的計算.

教學難點：從廣 泛意義上理解公式中的字母含義，具體問題要具體分析，會運用公式進行計算.

五、資訊科技應用思路

1.本課運用了資訊科技輔助教學，主要使用的技術有：PPT課件、幾何畫板.

2.使用幾何畫板技術，演示利用動態繪圖軟體研究週期性快速切換、更改週期，形象演示圖形變化，利用面積法推導平方差公式;在匯入、難點突破、練習鞏固等環節使用資訊科技.

3.預期效果：激發學生學習興趣;找準並突破難點;提高課堂學習效率.整個教學過程用PPT節約了時間，使課容量適中;多媒體更能吸引學生的注意力，更利於課堂的完整.

六、教學過程設計

(一)創設情境，匯入課題

問題1：美麗壯觀的城市廣場，是人們休閒旅遊的地方，已經成為現代化城市的一道風景線.某城市廣場呈長方形，長為1003米，寬997米.

你能用簡便的方法計算出它的面積嗎?看誰算得快：

師生活動：學生欣賞圖片，感受生活中的數學問題，並進行生活中的數學向數學模型轉換.

資訊科技支援：PPT演示由現實中的實際問題入手，創設情境，從中挖掘蘊含的數學問題.

(二)探索新知，嘗試發現

問題2：時代中學計劃將一個邊長為m米的正方形花壇改造成長(m+1)米，寬為(m-1)米的長方形花壇.你會計算改造後的花壇的面積嗎?

計算下列多項式的積，你能發現什麼規律?

(1)(m+1)(m-1)= ;

(2)(5+x)(5-x)= ;

(3)(2x+1)(2x-1)= .

師生活動：學生在教師的引導下，通過小組討論探究，進行多項式的乘法，計算出結論.

資訊科技支援：PPT動畫演示.

結論是一個平方減去另一個平方的形式，效果十分鮮明.

(三)總結歸納，發現新知

問題3：依照以上三道題的計算回答下列問題：

(1)式子的左邊具有什麼共同特徵?

(2)它們的結果有什麼特徵?

(3)能不能用字母表示你的發現?

問題4：你能用文字語言表示所發現的規律嗎?

教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發現規律：兩個數的和與這兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差.

師生活動：學生在教師的引導下，通過小組討論探究，歸納平方差公式的語言敘述.式子左邊是兩個數的和與這兩個數的差的'積，右邊是這兩個數的平方差，

資訊科技支援：PPT和幾何畫板演示，培養了學生的探究意識和合情推理的能力以及概括總結知識的能力.

(四)數形結合，幾何說理

問題5：在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，然後把剩餘的兩個長方形拼成一個長方形，你能用這兩個圖形的面積說明平方差公式嗎?

提示：a2-b2與(a+b)(a-b)都可表示該圖形的面積.

師生活動：通過學生小組合作，完成剪拼遊戲活動，利用這些圖形面積的相等關係，進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性，滲透了數形結合的思想.

資訊科技支援：PPT演示，進一步利用動畫的演示鞏固對平方差公式的理解程度，培養了學生的應用意識.

(五)剖析公式，發現本質

1.左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項;右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2.

2.讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當於公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能數或代表式.

師生活動：在認清公式的結構特徵的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住概念的核心.

資訊科技支援：通過PPT練習實現了知識向能力的轉化，讓學生主動嘗試運用所學知識尋求解決問題.

(六)鞏固運用，內化新知

問題6：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：

(1)(2x+3a)(2x3b);

(2)(-m+n)(m-n).

問題7：利用平方差公式計算：

(1)(3x +2y)(3x-2y);

(2)(-7+2m2)(-7-2m2).

師生活動：學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特徵，掌握運用平方差公式必須具備的條件.

資訊科技支援：PPT展示書寫步驟，有利於節省時間，提高效率，規範學生書寫.

(七)拓展應用，強化思維

問題8：利用平方差公式計算情景導航中提出的問題：

即：1003×997=(1000+3)(1000-3)=10002-32=1000000-9=999991.

問題9：小明家有一塊“L”形的自留地，現在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設計，並算出這塊自留地的面積.

師生活動：設計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結果追溯算式中的相同項和相反項，關鍵在於理解公式結構特徵，同時訓練了學生逆向思維能力.

資訊科技支援：PPT展示書寫步驟，有利於節省時間.

(八)總結概括，自我評價

問題10：這節課你有哪些收穫?還有什麼困惑?

提示：從知識和情感態度兩個方面加以小結.

師生活動：使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識，分組討論後交流.

資訊科技支援：PPT演示，複習、鞏固本節課的知識，在掌握基礎知識的前提下，增加提高練習，適當增加靈活度，進一步深化對知識的理解.

(九)課後作業

1.必做題：課本P36習題2.1A組1、2.

2.選做題：課本P36習題2.1B組1、2.

作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異.

七、教學反思

1.本節課通過與學生生活緊密聯絡問題及多媒體圖畫設計引入，激發了學生學習興趣，同時在教學中以學生自主探究為主，為不同學生設計練習，有利於提升了學生的自信心.

2.多媒體的應用能使學生充分體驗到教育資訊科技的優點，在操作過程中體會學習的快樂，特別是操作簡單，學習效率大大提升，在學習過程中使教學軟體與本節課的教學內容緊密結合在一起，使學生的思維始終關注學科本質.

3.資訊科技的應用，便於及時發現問題，反饋教學，使教與學更有層次性、針對性、實效性.教師要善於抓住這個契機，充分利用多媒體技術，利用圖形結合功能，降低難度，增強直觀性.資訊科技的應用大大提高了課堂效率.

一、內容和內容解析

1.內容

多邊形的內角和.

2.內容解析

本節課是以三角形的內角和知識為基礎，通過組織學生觀察、類比、推理等數學活動，引導學生探索多邊形的內角和與外角和的公式.通過多種轉化方法的探究讓學生深刻體驗化歸思想，以及分類、數形結合的思想，從特殊到一般的認識問題的方法，發展學生合情推理能力和語言表達能力.

教材先是通過作對角線探求任意四邊形內角和.這個環節，通過自主學習環節的鋪墊及學生的現有知識，把未知的四邊形內角和轉化為已知的三角形內角和來求解，有效地突破本節課的難點.再作對角線探求五邊形、六邊形的內角和，找規律探求n邊形的內角和公式.這裡我增加了一個環節是通過從一個頂點出發作對角線，來達到分割為三角形的目的.從邊上、五邊形內、外的任意一點出發，與頂點連線，來分割三角形.這個環節我沒有直接把方法教授給學生，而是讓學生先在學案上自主探索，然後小組合作，探討，交流，小組彙報展示探索方法.這麼做，可以鍛鍊學生合作交流的能力，同時可以提高語言表達能力.最後通過例題2的處理：得出六邊形的外角和為360°如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：n邊形的外角和等於360°.

本節課的教學重點是：多邊形的內角和與多邊形的外角和公式.

二、目標和目標解析

1. 教學目標

(1)瞭解多邊形的內角、外角等概念.

(2)能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式，並會應用它們進行有關計算.

2. 教學目標解析

(1)學生能正確理解多邊形的內角、外角等概念，感悟類比方法的價值.

(2)引導學生能夠從三角形的內角和知識出發，通過觀察、類比、推理等數學活動，探索多邊形的內角和的公式.通過多種轉化方法能深刻體驗化歸思想，以及分類、數形結合的思想.

三、教學問題診斷分析

對於多邊形的內角和定理的推導是通過作對角線探求五邊形、六邊形的內角和，通過資料的關係得到邊數n與分割三角形個數之間的關係，總結出邊數與分割三角形個數是n與n-2的關係，從而得到n邊形內角和為(n-2)×180°，體現由特殊到一般的轉化思想，顯得更加簡潔，明瞭，易懂.這裡我增加了一個環節是通過從一個頂點出發作對角線，來達到分割為三角形的目的.從邊上、五邊形內、外的任意一點出發，與頂點連線，來分割三角形.這個環節我沒有直接把方法教授給學生，而是讓學生先在學案上自主探索，然後小組合作，探討，交流，小組彙報展示探索方法.這麼做，可以鍛鍊學生合作交流的能力，同時可以提高語言表達能力.

本節課的教學難點：多邊形的內角和定理的推導.

四、教學過程設計

1.複習匯入

我們已經證明了三角形的內角和為180°，在國小我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊形內角的和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎?

2.多邊形的內角和

如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線?它們將四邊形分成幾個三角形?那麼四邊形的內角和等於多少度?

可以引一條對角線;它將四邊形分成兩個三角形;因此，四邊形的內角和=△ABD的內角和+△BDC的內角和=2×180°=360°.

類似地，你能知道五邊形、六邊形…n邊形的內角和是多少度嗎?

觀察下面的圖形，填空：

五邊形 六邊形

從五邊形一個頂點出發可以引 條對角線，它們將五邊形分成 個三角形，五邊形的內角和等於 ;

從六邊形一個頂點出發可以引 條對角線，它們將六邊形分成 個三角形，六邊形的內角和等於 ;

從n邊形一個頂點出發，可以引 條對角線，它們將n邊形分成 個三角形，n邊形的內角和等於 .

n邊形的內角和等於(n-2)180°

從上面的討論我們知道，求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求.現在以五邊形為例，你還有其它的分法嗎?

分法一：如圖1，在五邊形ABCDE內任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則得五個三角形.

∴五邊形的內角和為5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.

圖1 圖2

分法二： 如圖2，在邊AB上取一點O，連OE、OD、OC，則可以(5-1)個三角形.

∴五邊形的內角和為(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°=540°.

如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內角和=(n-2)×180°.

3.例題

例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那麼另一組對角有什麼關係?

如圖，已知四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B與∠D的關係.

分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什麼關係?

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°

又∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°

這就是說，如果四邊形一組對角互補，那麼另一組對角也互補.

例2 如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等於多少?

如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什麼關係?六邊形的內角和是多少度?

解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180°

∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA

=6×180°

又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360°

這就是說，六邊形形的外角和為360°.

如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：

n邊形的外角和等於360°.

對此，我們也可以這樣來理解.如圖，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形各邊走過各頂點，再回到A點，然後轉向出發時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由於走了一週，所得的各個角的和等於一個周角，所以多邊形的外角和等於360°.

4.課堂練習

課本24頁練習1、2、3題.

5.課堂小結

n邊形的內角和是多少度?

n邊形的外角和是多少度?

6.佈置作業：

教科書習題11.3第1，3，5，7，10題.

五、目標檢測設計

1.十邊形的內角和為(　　).

A.1 260° B.1 440°

C.1 620° D.1 800°

【設計意圖】考查學生對多邊形內角和公式掌握程度，要特別注意對公式的理解記憶.

2.一個多邊形每個外角都是60°，這個多邊形是__________邊形，它的內角和是_______度，外角和是__________度.

【設計意圖】考查學生能否靈活運用多邊形的內角和與外角和公式，要注意審題.

3.一個多邊形的內角和等於1 440°，則它的邊數為__________.

【設計意圖】本題是告訴內角和求邊數，主要考查多邊形內角和公式的整體運用.

4. 如圖，在四邊形ABCD中，∠1，∠2分別是∠BCD和∠BAD的鄰補角，且∠B+∠ADC=140°，則∠1+∠2等於(　　).

A.140° B.40°

C.260° D.不能確定

【設計意圖】考查四邊形的內角和與鄰補角問題，解題時需要綜合考慮，或許有更好的方法.

一、教學目標

1.理解因式分解的概念，因式分解與整式乘法的關係.

2.瞭解公因式的概念，能熟練運用提公因式法進行因式分解.

3.在探索提公因式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透化歸的思想方法.

二、教學重難點

教學重點：會用提公因式法分解因式.

教學難點：如何確定公因式及提出公因式後的另外因式.

三、教學過程

(一)創設情境，引出問題

學校為了豐富我們的課外活動，打算在原操場兩側分別建一個網球場和籃球場，各場地長、寬如下圖所示：

問題1：你能用幾種方法表示擴大後的操場面積?

預設1：ma+mb+mc.

預設2：m(a+b+c).

問題2：不同的表示方法之間有什麼關係?

預設：ma+mb+mc= m(a+b+c).

我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

問題3：如何從數學的角度認識不同的表示方法之間的關係?

預設：因式分解與整式乘法是方向相反的變形.

【設計意圖】通過具體問題的解決，讓學生在思考、觀察和探索的過程中，瞭解因式分解的概念，認識因式分解的基本屬性將和差化積的式子變形，同時發現因式分解與整式乘法的互逆變形關係，為後續探索因式分解的具體方法做鋪墊.

練習1：根據你對概念的理解，判斷下列變形是不是因式分解.

(1)2m(m-n)=2m2-2mn;

(2)x2-2x+1=x(x-2)+1;

(3)a2-b2=(a+b)(a-b);

(4)4x2-4x+1=(2x-1)2;

(5)3a2+6a=3a(a+2);

(6)m2-1+ n2=(m+1)(n-1).

【設計意圖】通過例項辨析，讓學生進一步理解因式分解的概念，認識到因式分解是恆等變形.

(二)探索發現，推陳出新

觀察多項式ma+mb+mc.

思考：這個多項式的各項有什麼特點?

預設：它的各項都有一個公共的因式m.

我們把因式m 叫做這個多項式各項的公因式.

例1：找出下面多項式的公因式.

(1)4xy2+2x2y3;

(2)ax2+2ax-4ay.

練習2：寫出下列多項式各項的公因式.

(1)4ax-8ay;

(2)5y3+20y2;

(3)a2b-2ab2+ab;

(4)-4a3b2-6a2b+2ab;

(5)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b).

歸納方法：如何確定多項式各項的公因式?

1.定係數：找多項式各項係數的最大公約數.

2.定字母：找多項式各項相同的字母.

3.定指數：相同字母的最低的次數.

【設計意圖】通過學生觀察、思考和總結歸納，讓學生了解公因式的概念，進一步瞭解因式分解與整式乘法的關係，瞭解因式分解的理論依據，為提公因式法分解因式做基礎，初步理解提公因式法分解因式.

(三)例題展示，規範解題

因式分解：27x3-9x2y2.

如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

例2：把2x2-8xy+x因式分解.

解：原式=x2x-x8y+x1

=x(2x-8y+1).

【設計意圖】通過例題的教學，引導學生：(1)瞭解提公因式法分解因式的基本步驟;(2)積累找公因式的經驗;(3)知道提公因式法就是把多項式分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是由多項式除以公因式得到的;(4)用公因式法分解因式後，應保證含有多項式的因式中再無公因式.

練習3：(1)24a3m-18a2m2;

(2)5y2-15y+5;

(3)28x3-14x2+7x.

例3：因式分解.

【設計意圖】例3是對於首項是帶有負號的多項式分解因式，多項式第一項的係數是負數，通常先提出“-”號，且括號內各項都要變號.

練習4：(1)-7ab+49ab2c;

(2)-6ax2+9axy-3a;

(3)-2a3b2-ab3c+3abc.

例4：把多項式 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

【設計意圖】例4的公因式是多項式，通過這一例題的教學，提高學生對“公因式”的認識可以是單項式，也可以是多項式，增強對提公因式法分解因式的本質認識.

練習5：(1)4m(n-3)+2(n-3);

(2)2a(y-x)-3b(x-y);

(3)a(a2+b2)-c(a2+b2).

(四)課時小結，知識分享

通過這節課的學習，你有哪些收穫?和大家一起分享吧!

1.什麼叫因式分解?

2.確定公因式的方法?

3.提公因式法分解因式步驟?

4.提公因式法因式分解中的四個注意?

【設計意圖】通過小結，使學生梳理本節課所學的內容，使學生進一步理解因式分解、公因式的概念，總結應用提公因式法分解因式的步驟，建立知識間的練習，促進學生數學思維品質的優化.

(五)作業

基礎檢測：

1.因式分解

(1);

(2)-12a2b+24ab2;

(3)xy-x2y2-x3y3;

(4).

2.已知a-b=3，ab=-1，求a2b-ab2.

3.若x2+3x-2=0，求2x3+6x2-4x的值.

4.先分解因式，再求值：

4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3.

能力提升

1.因式分解

(1); (2); (3); (4).

2.先化簡，再求值，其中，x=. 3.已知方程組，求代數式的值.