高中數學競賽的標準教材

第四章 幾個初等函式的性質

一、基礎知識

1．指數函式及其性質：形如=ax(a>0, a 1)的函式叫做指數函式，其定義域為R，值域為（0，+∞），當0<a<1時，=ax是減函式，當a>1時，=ax為增函式，它的圖象恆過定點（0，1）。

2．分數指數冪： 。

3．對數函式及其性質：形如=lgax(a>0, a 1)的函式叫做對數函式，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）。當0<a<1，=lgax為減函式，當a>1時，=lgax為增函式。

4．對數的性質（M>0, N>0）；

1）ax=M x=lg&nt;aM(a>0, a 1)；

2）lg&nt;a&nt;(MN)= lg&nt;a M+ lg&nt;a N；

3）lg&nt;a（ ）= lg&nt;a M- lg&nt;a N；4）lg&nt;a Mn=n lg&nt;a M；，

5）lg&nt;a = lg&nt;a M；6）alg&nt;a M=M; 7) lg&nt;a b= (a,b,c>0, a, c 1).

5. 函式=x+ （a>0）的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間為 和 。（請讀者自己用定義證明）

6．連續函式的性質：若a<b, f(x)在[a, b]上連續，且f(a)f(b)<0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個實根。

二、方法與例題

1．建構函式解題。

例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求證：ab+bc+ca+1>0.

【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關於x的一次函式。

所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-1<a<1）.

因為f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，

所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈R，則（ ）（ ）≥( )2，等號當且僅當存在 R，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n時成立。

【證明】 令f(x)= （ ）x2-2( )x+ = ,

因為 >0，且對任意x∈R, f(x)≥0，

所以△=4( )-4（ ）( )≤0.

展開得（ ）( )≥( )2。

等號成立等價於f(x)=0有實根，即存在 ，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n。

例3 設x, ∈R+, x+=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u= 的.最小值。

【解】u= =x+ ≥x+ +2

=x+ +2.

令x=t，則0<t=x≤ ,設f(t)=t+ ,0<t≤

因為0<c≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在 上單調遞減。

所以f(t)in=f( )= + ，所以u≥ + +2.

當x== 時，等號成立. 所以u的最小值為 + +2.

2．指數和對數的運算技巧。

例4 設p, q∈R+且滿足lg9p= lg12q= lg16(p+q)，求 的值。

【解】 令lg9p= lg12q= lg16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

所以9 t +12 t =16 t，即1+

記x= ，則1+x=x2，解得

又 >0，所以 =

例5 對於正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, , z,