第七單元《運算律》教材分析

本單元教學加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律。在學生掌握了四則計算和混合運算順序的基礎上，進一步教學運算律，有利於學生更好地理解運算，掌握運算技巧，提高計算能力。

教材的安排是先教學加法的運算律，再教學乘法的運算律；先教學交換律，再教學結合律；先教學運算律的含義，再教學運算律的應用。這樣安排有三個好處：首先是由易到難，便於教學。交換律的內容比結合律簡單，學生對交換律的感性認識比結合律豐富，先教學比較容易的交換律，有利於引起學生探索的興趣。其次是能提高教學效率。交換律的教學方法和學習活動可以遷移到結合律，加法運算律的教學方法和學習活動可以遷移到乘法運算律，遷移能促進學生主動學習。再次是符合認識規律。先理解運算律的含義，再應用運算律使一些計算簡便，體現了發現規律是為了掌握和利用規律。

1 讓學生在觀察、實驗、歸納、類比等學習活動中主動認識運算律。

數學教學不僅要使學生獲得數學知識，還要發揮教學內容的育人功能，使學生在多方面有所發展。教材希望學生在本單元的教學中認識運算律並發展初步的推理能力。為此，教材設計了一條鮮明的教學線索，在發現運算律、總結運算律的時候，都給學生留出自主探索的空間，為學生安排了豐富、多樣、有效的學習活動。教材安排了引出一個例項進行類似的實驗在眾多案例中概括用符號表達的教學過程，引導學生充分地觀察、實驗、歸納、類比，獲得正確的結論。

（1） 引出一個例項。

第56頁例題求跳繩的人數，學生分別列出算式28+17=45和17+28=45。由於得數相同，這兩道算式可以組成等式28+17=17+28，這是教學加法交換律引出的第一個例項。如果求參加活動的一共有多少人，學生會列式（28+17）+23或28+（17+23），這兩道算式的得數相同，也可以組成等式（28+17）+23=28+（17+23），這是教學加法結合律引出的第一個例項。同樣，在教學乘法交換律和結合律時，教材也都先引出一個例項。

各個例項的要點是等式中的數學內容，在28+17=17+28這個等式中，等號左右兩邊的加數調換了位置。在（28+17）+23=28+（17+23）這個等式中，等號左右兩邊的運算順序不同，分別是先把前兩個數相加，再加第三個數和先把後兩個數相加，再與第一個數相加。要組織學生仔細觀察第一個例項，瞭解其中的數學內容，明白當前的學習任務，產生進一步探索的積極性。

教學第一個例項要注意兩點： 一是教師參與列算式活動。第57頁求參加活動的一共有多少人，學生可以列出許多算式，但不一定列出研究加法結合律需要的算式。這時，需要教師與學生平等地一起列算式，避免在列算式這個環節上的不必要糾纏。二是挖掘等式裡的'數學內容很重要，要把學生的學習心向引導到對運算律的研究上去。但挖掘要緊密聯絡算式，不要抽象概括，更不能由此就得出運算律。

（2） 進行類似的實驗。

在第一個例項中看到的數學現象是不是普遍性的規律，這需要在類似的情況中驗證。在教學加法結合律時，教材安排分別算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每組的兩道算式中間能填上等號嗎？讓學生通過實驗發現第一個例項中的數學現象在類似的情況中同樣存在。教學的時候，不能讓學生未經計算就在每組的兩道算式之間寫上等號。教學時還可以鼓勵學生自己寫出幾組類似的算式，進行更多的驗證，體驗現象的普遍性。

（3） 在眾多案例中概括。

教學加法的兩條運算定律時，教材都讓學生從這些等式中說說有什麼發現，在教學乘法運算律時，教材要求學生在小組裡說說，有什麼發現，這些問題都引導學生對眾多案例進行概括，把同類型案例的共同特徵提取出來。

與過去教材不同的是新教材沒有用文字語言講述各條運算律的內容，這並不是不需要概括性的表述，而是把概括運算律的活動留給學生進行，以避免機械接受、死記硬背。學生經過自己的觀察、驗證，再用自己的語言講述運算律的內容，才是他們對運算律的實實在在的理解。教學時要十分重視這個環節，給學生提供充分的思考、交流的時間，這是鍛鍊思維的極好時機。對學生的口頭表述不要提過高的要求，基本正確、能講清楚就可以了。

概括交換律比較容易，概括結合律比較難，特別是加法結合律。要引導學生應用運算順序的知識和混合運算的經驗，以分別講述等號兩邊算式的計算步驟為載體進行概括。如（28+17）+23、（45+25）+13、（36+18）+22都是先把前兩個數相加，再與第三個數相加；28+（17+23）、45+（25+13）、36+（18+22）都是先把後兩個數相加，再與第一個數相加。概括要聯絡等式，在教學的各個環節經常進行，逐步提高要求。

（4） 用符號表示運算律。

教材讓學生用圖形和字母組成的等式表示運算律，這是過去數學教材裡沒有的。圖形和字母能直觀、簡潔地顯現運算律的本質內容。學生用圖形、字母表示運算律時，能充分體會這種表達方式的優越性，從而既加強對運算律的理解，又培養符號意識，發展符號感。

還要指出的是，教學四條運算律的線索基本相同，在具體落實時仍各有不同。首先是學生對交換律的已有感性認識的積累比結合律多，因此教學加法交換律時，教材在引出第一個例項後緊接著問學生你能再寫出幾個這樣的等式嗎？教學加法結合律時，教材在引出第一個例項後還繼續提供感知材料，安排兩組算式，讓學生經過計算得出同組的兩道算式可以組成等式的結論。其次是把加法運算律的學習方式和學習活動向乘法運算律的教學遷移，在教學乘法運算律時給學生更大的主動學習空間。如乘法交換律的第一個例項的等式的出現比加法交換律快，而且讓學生填寫完整。又如乘法結合律教學中的類似驗證比加法結合律放得開。再次，用符號表示運算律的過程也不相同。加法運算律先用圖形表示，再用字母表示。因為圖形比字母生動、有趣，學生容易接受，也喜歡使用。乘法運算律則直接用字母表示，跳過了圖形表示這個活動，這是考慮到學生已經具有用字母表示運算律的能力和體驗。

2 讓學生在體驗中主動應用運算律。

應用運算律能使有些計算簡便，簡便運算應該是學生的主動追求和自覺行為。教材只編排一道例題作為引導，在試一試和想想做做裡為學生創設了多次體驗的機會，讓他們主動進行簡便運算。

（1） 體驗簡便，選擇簡便。

第58頁第4題和第62頁第2題都可以先算一算，再比較每組中的兩道算式。通過算和比，學生一要看到同組的兩道算式的得數相同；二要感到兩道算式的運算順序不同；三要感到同組的兩道算式中，一道計算比較簡便，另一道比較麻煩；四要知道同組的兩道算式可以利用運算律相互改寫。如果學生有了上面四點收穫，那麼就為教學簡便運算作了有益的鋪墊。

第59頁的例題求三個年級參加跳繩比賽的總人數，通過哪種方法簡便？為什麼這一系列問題引導學生思考，再次體驗三個數連加時，如果應用加法結合律把能湊成整百的兩個數先加，運算比較簡便。另外，在第59頁想想做做第1題、第62頁想想做做第3題，創設了簡便演算法的氛圍，引導學生把例題裡獲得的體驗轉化成進行簡便運算的內在動力，使簡便運算成為學生的自我需要和自覺要求。

（2） 體驗靈活，適應變化。

第60頁第2題和第62頁第4題中，應用加法結合律，有些題先進行後兩個數的計算比較簡便，有些題先進行前兩個數的計算比較簡便，有些題要同時應用加法交換律和結合律才能使計算簡便。教材設計這些題的目的是讓學生體會應用運算律進行簡便運算時，要從實際出發，靈活處理各種具體情況，不要生搬硬套。

第60頁第3題是兩個三位數相加，其中一個加數接近整百數。如果把這個接近整百數的三位數分解成幾百加幾，原題就從兩個數相加變成三個數相加，而且可以利用加法結合律簡便運算。類似的還有兩個兩位數相乘，如果把其中某一個乘數分解成兩個一位數相乘，就可以應用乘法結合律使原來不容易口算的題變成容易口算的題。這些技巧都是靈活應用運算律的表現，也是學生充分體驗的結果。

教材裡還安排了一些實際問題，如第60頁第4、5兩題、第63頁第10題等，這些題都可以應用運算律進行簡便運算。設計這些題的目的是讓學生體驗簡便運算不只是數學技能，也能簡便地解決實際問題。

體驗是學習者的心理行為，外界只能為學習者提供體驗的條件，不能代替學習者進行體驗。體驗既能對數學內容有更深刻的理解，還能產生情感表現。讓學生在體驗中主動應用運算律是教材的編寫理念，教材為學生預留了許多體驗的機會，教學時要充分利用這些機會，把學生的體驗落到實處，讓體驗產生效果。