關於數學建模總結

經過這段時間的學習，瞭解了更多的關於這門學科的知識，可以說是見識了很多很多，作為一個數學系的學生，一直都有一個疑問，數學的應用在那裡。對了，就在這裡，在這裡，我看到了很多，也學到了很多，關於各個學科，各個領域，都少不了數學，都是用建模的思想，來解決實際問題，很神奇。

數學建模給了我很多的感觸：它所教給我們的不單是一些數學方面的知識，更多的其實是綜合能力的培養、鍛鍊與提高。它培養了我們全面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛鍊和提高。它還讓我瞭解了多種數學軟體，以及運用數學軟體對模型進行求解。

數學模型主要是將現實物件的資訊加以翻譯，歸納的產物。通過對數學模型的假設、求解、驗證，得到數學上的解答，再經過翻譯回到現實物件，給出分析、決策的結果。其實，數學建模對我們來說並不陌生，在我們的日常生活和工作中，經常會用到有關建模的概念。例如，我們平時出遠門，會考慮一下出行的路線，以達到既快速又經濟的目的；一些廠長經理為了獲得更大的利潤，往往會策劃出一個合理安排生產和銷售的最優方案這些問題和建模都有著很大的聯絡。而在學習數學建模訓練以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什麼會這樣做，現在，我們這種陳舊的思考方式己經在被數學建模訓練中培養出的多角度、層次分明、從本質上區分問題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉化成了你自身的素質，不僅在你以後的學習工作中繼續發揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。

數學建模所要解決的問題決不是單一學科問題，它除了要求我們有紮實的數學知識外，還需要我們不停地去學習和查閱資料，除了我們要學習許多數學分支問題外，還要了解工廠生產、經濟投資、保險事業等方面的知識，這些知識決不是任何專業中都能涉獵得到的。它能極大地拓寬和豐富我們的內涵，讓我們感到了知識的重要性，也領悟到了“學習是不斷髮現真理的過程”這句話的真諦所在，這些知識必將為我們將來的學習工作打下堅實的基礎。從現在我們的學習來看，我們都是直接受益者。就拿數學建模比賽寫的論文來說。原本以為這是一件很簡單的事，但做起來才發覺事情並沒有想象中的簡單。因為要解決問題，憑我們現有的知識根本不夠。於是，自己必須要充分利用圖書館和網路的作用，查閱各種有關資料，以儘量獲得比較全面的知識和資訊。在這過程中，對自己眼界的開闊，知識的擴充套件無疑大有好處，各學科的交叉滲透更有利於自己提高解決複雜問題的能力。毫不誇張的說，建模過程挖掘了我們的潛能，使我們對自己的能力有了新的認識，特別是自學能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發出了智慧的火花，從而增加了繼續深入學習數學的主動性和積極性。再次，數學建模也培養了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問題的本質所在。我們只有先對實際問題進行概括歸納，同時在允許的情況下儘量忽略各種次要因素，緊緊抓住問題的本質方面，使問題儘可能簡單化，這樣才能解決問題。其實，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多，如果把這一系列因數都考慮的話，將會花費更多的時間和精神。因此，在我們考慮一些因素並不是本質問題的時候，我就將這些因數做了假設以及在模型的推廣時才考慮。這就使模型更加合理和理想。數學建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即進行抽象，要用我們熟悉的數學語言、數學符號和數學公式將它

們準確的表達出來。

下面用一個具體的例項，來介紹建模的具體應用：

傳染病問題的研究

一?模型假設

1.在疾病傳播期內所考察的地區範圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。總人口數N(t)不變，人口始終保持一個常數N。人群分為以下三類：易感染者(Susceptibles)，其數量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數佔總人數的比例；感染病者(Infectives)，其數量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數佔總人數的比例；恢復者(Recovered)，其數量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統。）佔總人數的比例。

2.病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數）為常數λ，日治癒率（每天被治癒的病人佔總病人數的比例）為常數μ，顯然平均傳染期為1／μ，傳染期接觸數為σ=λ／μ。該模型的缺陷是結果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設有效接觸率傳染力是不變的`。

二?模型構成

在以上三個基本假設條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：

在假設1

s(t) + i(t) + r(t) = 1

對於病癒免疫的移出者的數量應為

NdrNi dt

不妨設初始時刻的易感染者，染病者，恢復者的比例分別為s0（s0＞0），i0（i0＞0），r0=0. SIR基礎模型用微分方程組表示如下：

didtsii

dssi

dt

drdti

s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數值計算來預估計s(t) ， i(t)的一般變化規律。

三?數值計算

在方程（3）中設λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟體程式設計： function y=ill(t,x)

a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

ts=0:50;

x0=[0.20,0.98];

[t,x]=ode45(ill,ts,x0);

四?相軌線分析

我們在數值計算和圖形觀察的基礎上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質。

D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝

在方程（3）中消去dt並注意到σ的定義，可得

di11i|ss0i0（5） dssσ

所以：diis111ds di1ds（6） i0s0sσsσ

利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i(s0i0)s1

lns （7） s0

在定義域D內,(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加

s(t)和i(t)的變化趨向

下面根據(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t→∞時它們的極限值分別記作s, i和r).

1. 不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即：i00

2.最終未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方程

s0i0s1

lns0 s0

在(0,1/σ)內的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/σ)內交點的橫座標

3.若s0>1/σ,則開始有di1d11o，i(t)先增加, 令i1=0，可得當dssσdssσ

s=1/σ時,i(t)達到最大值：

1ims0i01lns0)

然後s<1/σ時，有di11o ，所以i(t)減小且趨於零,s(t)則單調減小至s,dssσ

如圖3中由P1(s0，i0)出發的軌線

4.若s0 1/σ,則恆有di110，i(t)單調減小至零,s(t)單調減小至s,如圖3dssσ

中由P2(s0,i0)出發的軌線

可以看出,如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延,那麼1/σ是一個閾值,當s0>1/σ(即σ>1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數σ,即提高閾值1/σ使得s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通常可

認為s0接近1)。

並且,即使s0>1/σ,從(19),(20)式可以看出, σ減小時, s增加(通過作圖分析), im降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在σ=λμ中,人們的衛生水平越高,日接觸率λ越小;醫療水平越高,日治癒率μ越大,於是σ越小,所以提高衛生水平和醫療水平有助於控制傳染病的蔓延.

從另一方面看, ss1/是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數,稱為交換數,其含義是一病人被s個健康者交換.所以當 s01/即s01時必有 .既然交換數不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。

五?群體免疫和預防

根據對SIR模型的分析,當s01/時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛生和醫療水平,使閾值1/σ變大以外,另一個途徑是降低s0 ,這可以通過比如預防接種使群體免疫的辦法做到.

忽略病人比例的初始值i0有s01r0,於是傳染病不會蔓延的條件s01/可以表為 r011

這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。

這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分佈在全體人口中，實際上這是很難做到的。據估計當時印度等國天花傳染病的接觸數 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據世界衛生組織報告，即使花費大量資金提高r0，也因很難做到免疫者的均勻分佈，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難。

六?模型驗證

上世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾

乎所有病人都死亡了。死亡相當於移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，即有了

模型作了驗證。

首先，由方程（2），（3）可以得到dr的實際資料，Kermack等人用這組資料對SIRdtdsdsisisr dtdt

1上式兩邊同時乘以dt可dsdr，兩邊積分得 s

r1srsde lns|rsrss0sr000s0s

所以： s(t)s0er(t) (12)

系 別

班 級

姓 名

學 號

教 師時 間

認識學習總結

數學建模隨著人類的進步，科技的發展和社會的日趨數字化，應用領域越來越廣泛，人們身邊的數學內容越來越豐富。強調數學應用及培養應用數學意識對推動素質教育的實施意義十分巨大。數學建模在數學教育中的地位被提到了新的高度，通過數學建模解數學應用題，提高學生的綜合素質。

一、數學應用題的特點

我們常把來源於客觀世界的實際，具有實際意義或實際背景，要通過數學建模的方法將問題轉化為數學形式表示，從而獲得解決的一類數學問題叫做數學應用題。數學應用題具有如下特點：

第一、數學應用題的本身具有實際意義或實際背景。這裡的實際是指生產實際、社會實際、生活實際等現實世界的各個方面的實際。如與課本知識密切聯絡的源於實際生活的應用題；與模向學科知識網路交匯點有聯絡的應用題；與現代科技發展、社會市場經濟、環境保護、實事政治等有關的應用題等。

第二、數學應用題的求解需要採用數學建模的方法，使所求問題數學化，即將問題轉化成數學形式來表示後再求解。

第三、數學應用題涉及的知識點多。是對綜合運用數學知識和方法解決實際問題能力的檢驗，考查的是學生的綜合能力，涉及的知識點一般在三個以上，如果某一知識點掌握的不過關，很難將問題正確解答。

第四、數學應用題的命題沒有固定的模式或類別。往往是一種新穎的實際背景，難於進行題型模式訓練，用“題海戰術”無法解決變化多端的實際問題。必須依靠真實的能力來解題，對綜合能力的考查更具真實、有效性。因此它具有廣闊的發展空間和潛力。

二、數學應用題如何建模

建立數學模型是解數學應用題的關鍵，如何建立數學模型可分為以下幾個層次：

第一層次：直接建模。

根據題設條件，套用現成的數學公式、定理等數學模型。

第二層次：直接建模。可利用現成的數學模型，但必須概括這個數學模型，對應用題進行分析，然後確定解題所需要的具體數學模型或數學模型中所需數學量需進一步求出，然後才能使用現有數學模型。

第三層次：多重建模。對複雜的關係進行提煉加工，忽略次要因素，建立若干個數學模型方能解決問題。

第四層次：假設建模。要進行分析、加工和作出假設，然後才能建立數學模型。如研究十字路口車流量問題，假設車流平穩，沒有突發事件等才能建模。

三、建立數學模型應具備的能力

從實際問題中建立數學模型，解決數學問題從而解決實際問題，這一數學全過程的教學關鍵是建立數學模型，數學建模能力的強弱，直接關係到數學應用題的解題質量，同時也體現一個學生的綜合能力。

3．1提高分析、理解、閱讀能力。

閱讀理解能力是數學建模的前提，數學應用題一般都創設一個新的背景，也針對問題本身使用一些專門術語，並給出即時定義。如1999年大學聯考題第22題給出冷軋鋼帶的過程敘述，給出了“減薄率”這一專門術語，並給出了即時定義，能否深刻理解，反映了自身綜合素質，這種理解能力直接影響數學建模質量。

3．2強化將文字語言敘述轉譯成數學符號語言的能力。

將數學應用題中所有表示數量關係的文字、圖象語言翻譯成數學符號語言即數、式子、方程、不等式、函式等，這種譯釋能力是數學建成模的基礎性工作。 例如：一種產品原來的成本為a元，在今後幾年內，計劃使成本平均每一年比上一年降低p%，經過五年後的成本為多少

將題中給出的文字翻譯成符號語言，成本y=a(1-p%)5

3．3增強選擇數學模型的能力。

選擇數學模型是數學能力的反映。數學模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個最佳的模型，體現數學能力的強弱。建立數學模型主要涉及到方程、函式、不等式、數列通項公式、求和公式、曲線方程等型別。結合教學內容，以函式建模為例，以下實際問題所選擇的數學模型列表：

函式建模型別 實際問題

一次函式 成本、利潤、銷售收入等

二次函式 優化問題、用料最省問題、造價最低、利潤最大等

冪函式、指數函式、對數函式 細胞分裂、生物繁殖等

三角函式 測量、交流量、力學問題等 。

3．4加強數學運算能力。

數學應用題一般運算量較大、較複雜，且有近似計算。有的儘管思路正確、建模合理，但計算能力欠缺，就會前功盡棄。所以加強數學運算推理能力是使數學建模正確求解的關鍵所在，忽視運算能力，特別是計算能力的培養，只重視推理過程，不重視計算過程的做法是不可取的。

數學模型是數學知識與數學應用的橋樑，研究和學習數學模型，能幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識和實踐能力，加強數學建模教學與學習對學生的智力開發具有深遠的意義，現就如何加強高中數學建模教學談幾點體會。

一．要重視各章前問題的教學，使學生明白建立數學模型的實際意義。

教材的每一章都由一個有關的實際問題引入，可直接告訴學生，學了本章的教學內容及方法後，這個實際問題就能用數學模型得到解決，這樣，學生就會產生創新意識，對新數學模型的渴求，實踐意識，學完要在實踐中試一試。

如新教材“三角函式”章前提出：有一塊以O點為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內接矩形ABCD闢為綠冊，使其冊邊AD落在半圓的直徑上，另兩點BC落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關於點O對稱的點A、D的位置，可以使矩形面積最大？

這是培養創新意識及實踐能力的好時機要注意引導，對所考察的實際問題進行抽象分析，建立相應的數學模型，並通過新舊兩種思路方法，提出新知識，激發學生的知欲，如不可挫傷學生的積極性，失去“亮點”。

這樣通過章前問題教學，學生明白了數學就是學習，研究和應用數學模型，同時培養學生追求新方法的意識及參與實踐的意識。因此，要重視章前問題的教學，還可據市場經濟的建設與發展的需要及學生實踐活動中發現的問題，補充一些例項，強化這方面的教學，使學生在日常生活及學習中重視數學，培養學生數學建模意識。

二．通過幾何、三角形測量問題和列方程解應用題的教學滲透數學建模的思想與思維過程。

學習幾何、三角的測量問題，使學生多方面全方位地感受數學建模思想，讓學生認識更多現在數學模型，鞏固數學建模思維過程、教學中對學生展示建模的如下過程：

現實原型問題

數學模型

數學抽象

簡化原則

演算推理

現實原型問題的解

數學模型的解

反映性原則

返回解釋

列方程解應用題體現了在數學建模思維過程，要據所掌握的資訊和背景材料，對問題加以變形，使其簡單化，以利於解答的思想。且解題過程中重要的步驟是據題意更出方程，從而使學生明白，數學建模過程的重點及難點就是據實際問題特點，通過觀察、類比、歸納、分析、概括等基本思想，聯想現成的數學模型或變換問題構造新的數學模型來解決問題。如利息（複利）的數列模型、利潤計算的方程模型決策問題的函式模型以及不等式模型等。

三．結合各章研究性課題的學習，培養學生建立數學模型的能力，拓展數學建模形式的多樣性式與活潑性。

高中新大綱要求每學期至少安排一個研究性課題，就是為了培養學生的數學建模能力，如“數列”章中的“分期付款問題”、“平面向是章中向量在物理中的應用”等，同時，還可設計類似利潤調查、洽談、採購、銷售等問題。設計瞭如下研究性問題。

例1根據下表給出的資料資料，確定該國人口增長規律，預測該國2000年的人口數。

時間(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

人中數(百萬) 39 50 63 76 92 106 123 132 145

分析：這是一個確定人口增長模型的問題，為使問題簡化，應作如下假設：

（1）該國的政治、經濟、社會環境穩定；（2）該國的人口增長數由人口的生育，死亡引起；（3）人口數量化是連續的。基於上述假設，我們認為人口數量是時間函式。建模思路是根據給出的資料資料繪出散點圖，然後尋找一條直線或曲線，使它們儘可能與這些散點吻合，該直線或曲線就被認為近似地描述了該國人口增長規律，從而進一步作出預測。

通過上題的研究，既複習鞏固了函式知識更培養了學生的數學建模能力和實踐能力及創新意識。在日常教學中注意訓練學生用數學模型來解決現實生活問題；培養學生做生活的有心人及生活中“數”意識和觀察實踐能力，如記住一些常用及常見的資料，如：人行車、自行車的速度，自己的身高、體重等。利用學校條件，組織學生到操場進行實習活動，活動一結束，就回課堂把實際問題化成相應的數學模型來解決。如：推鉛球的角度與距離關係；全班同學手拉手圍成矩形圈，怎樣圍使圍成的面積最大等，用磚塊搭成多米諾牌骨等。

四、培養學生的其他能力，完善數學建模思想。

由於數學模型這一思想方法幾乎貫穿於整個中國小數學學習過程之中，國小解算術運用題中學建立函式表示式及解析幾何裡的軌跡方程等都孕育著數學模型的思想方法，熟練掌握和運用這種方法，是培養學生運用數學分析問題、解決問題能力的關鍵，我認為這就要求培養學生以下幾點能力，才能更好的完善數學建模思想：

（1）理解實際問題的能力；

（2）洞察能力，即關於抓住系統要點的能力；

（3）抽象分析問題的能力；

（4）“翻譯”能力，即把經過一生抽象、簡化的實際問題用數學的語文符號表達出來，形成數學模型的能力和對應用數學方法進行推演或計算得到注結果能自然語言表達出來的能力；

（5）運用數學知識的能力；

（6）通過實際加以檢驗的能力。

只有各方面能力加強了，才能對一些知識觸類旁通，舉一反三，化繁為簡，如下例就要用到各種能力，才能順利解出。

數學建模隨著人類的進步，科技的發展和社會的日趨數字化，應用領域越來越廣泛，人們身邊的數學內容越來越豐富。強調數學應用及培養應用數學意識對推動素質教育的實施意義十分巨大。數學建模在數學教育中的地位被提到了新的高度，通過數學建模解數學應用題，提高學生的綜合素質。