數學《一元二次方程》教案設計

在教學工作者實際的教學活動中，通常需要用到教案來輔助教學，編寫教案有利於我們科學、合理地支配課堂時間。那麼優秀的教案是什麼樣的呢？下面是小編為大家收集的數學《一元二次方程》教案設計，希望對大家有所幫助。

數學《一元二次方程》教案設計1

教學目標

1.瞭解整式方程和一元二次方程的概念;

2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

教學重點和難點：

重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。

難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項係數的確定。

教學建議：

1.教材分析：

1)知識結構：本小節首先通過例項引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。

2)重點、難點分析

理解一元二次方程的定義：

是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

(1)一元二次方程的條件是確定的，如方程( )，把它化成一般形式為，由於，所以，符合一元二次方程的定義。

(2)條件是用“關於的一元二次方程”這樣的語句表述的，那麼它就隱含了二次項係數不為零的條件。如“關於的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。

(3)方程中含有字母系數的項，且出現“關於的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關於的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程;當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。

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一、教材分析

1、教材的地位和作用

一元二次方程是中學教學的主要內容，在國中代數中佔有重要的地位，在一元二次方程的前面，學生學了實數與代數式的運算，一元一次方程(包括可化為一元一次方程的分式方程)和一次方程組，上述內容都是學習一元二次方程的基礎，通過一元二次方程的學習，就可以對上述內容加以鞏固，一元二次方程也是以後學習(指數方式，對數方程，三角方程以及不等式，函式，二次曲線等內容)的基礎，此外，學習一元二次方程對其他學科也有重要的意義。

2、教學目標及確立目標的依據

九年義務教育大綱對這部分的要求是：“使學生了解一元二次方程的概念”，依據教學大綱的要求及教材的內容，針對學生的理解和接受知識的實際情況，以提高學生的素質為主要目的而制定如下教學目標。

知識目標：使學生進一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。

能力目標：通過一元二次方程概念的教學，培養學生善於觀察，發現，探索，歸納問題的能力，培養學生創造性思維和邏輯推理的能力。

德育目標：培養學生把感性認識上升到理性認識的辯證唯物主義的觀點。

3、重點，難點及確定重難點的依據

“一元二次方程”有著承上啟下的作用，在今後的學習中有廣泛的應用，因此本節課做為起始課的重點是一元二次方程的概念，一元二次方程(特別是含有字母系數的)化成一般形式是本節課的難點。

二、教材處理

在教學中，我發現有的學生對概念背得很熟，但在準確和熟練應用方面較差，缺乏應變能力，針對學生中存在的這些問題，本節課突出對教學概念形成過程的教學，採用探索發現的方法研究概念，並引導學生進行創造性學習。

三、教學方法和學法

教學中，我運用啟發引導的方法讓學生從一元一次方程入手，類比發現並歸納出一元二次方程的概念，啟發學生髮現規律，並總結規律，最後達到問題解決。

四、教學手段

採用投影儀

五、教學程式

1、新課匯入：

(1)什麼叫一元一次方程?(並引入一元二次方程的概念做鋪墊)

(2)列方程解應用題的方法，步驟?(並引例打基礎)

課本引例(如圖)由教師提出並分析其中的數量關係。(用實際問題引出一元二次方程，可以幫助學生認識到一元二次方程是來源於客觀需要的)

設出求知數，列出代數式，並根據等量關係列出方程

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一、教材分析

1、教材所處的地位和作用：本課是閱讀教材P39頁的有關內容，雖然新課程標準沒有要，教材上也作為閱讀教材，但由於其內容太重要了，因而必須把它作為一堂課來上。它的作用在於讓學生能儘快判定一元二次方程根的情況。

2、教學內容：本課主要是引導學生通過對一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方後得到的（x+ ）2 = 2 的觀察，分析，討論，發現，最後得出結論：只有當 2

b2－4ac≥ 0 時，才能直接開平方，進一步討論分析得出根的判別式，從而運用它解決實際問題。

3、新課程標準的要求：由於根的判別式作為刪去內容，雖然其內容重要，因而在處理這部分內容時，只能要求作了解性深入，練習儘可能簡捷明確。

4、教學目標：

（1）知識能力目標：通過本課的學習，讓學生在知識上了解掌握根的判別式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情況；根據根的情況，探求所需的條件。

（2）情感目標：學生通過觀察、分析、討論、相互交流、培養與他人交流的能力，通過觀察、分析、感受數學的變化美，激發學生的探求慾望。

5、數學思想：由感性認識到理性認識。

6、教學重點：

（1）發現根的判別式。

（2）用根的判別式解決實際問題。

7、教學難點：

根的判別式的發現

8、教法：啟導、探究

9、學法：合作學習與探究學習

10、教學模式：引導——發現式

二、教學過程

（一）自習回顧，引入新課

1、師生共同回顧：一元二次方程的解法

2、解下列一元二次方程。

（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1

（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=0

3、為什麼會出現無解？

（二）探索

1、回顧：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。

2、觀察(x+ ) 2= 2 在什麼情況下成立？

3、學生分組討論。

4、猜測？

5、發現了什麼？

6、總結：2（先由學生完成，後由教師補充完整），通過觀察分析發現，只有當 b2－4ac≥ 0時， 才能直接開平方，也就是說，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有當係數a，b，c都是b2－4ac≥ 0時，才有實數根。（注意有根和有實數根的區別）

7、進一步觀察發現一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

（1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________

（2）當b2－4ac＝ 0時，_________________________

（3）當b2－4ac＜ 0時，_________________________

8、總結：

（1）比較分析學生的討論分析結果。

（2）由學生總結。

（3）教師根據學生總結情況補充完整。

把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。

（1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________

（2）當b2－4ac＝ 0時，_________________________

（3）當b2－4ac＜ 0時，________________________

（三）應用新知：

1、不解方程判定下列一元二次方程根的情況。

（1）x2-x-6=0 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____

（2）x2-2x=1 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____

（3）x2-2x+2=0 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____

2、根據根的情況，求字母系數的取值範圍。

例1：當m取什麼值時，關於x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有兩個相等的實數根？並求出方程的根。

（1）讀題分析：

A、二次項係數是什麼？ a=_______

B、一次項係數是什麼？ b=_______

C、常數項是什麼？ c=_______

(2)建立等式，根據有個常數根 b2－4ac=0

（3）由學生完成解題過程後教師評價

3、證明

例2：說明不論m取什麼值時，關於x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2，不論m取代的值都有幾個不相等的實根。

（四）練習

已知關於x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判別式是9，求m的值及方程的根。

（五）小結：把_________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，並會用它們解決一些實際問題。

三、作業

1、把例1、例2整理在作業本上。

2、有餘力的同學把練習題整理在作業本。

四、教學後記

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教學內容： 12.1 用公式解一元二次方程（一）

教學目標：

知識與技能目標：1．使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2．掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項係數、一次項係數及常數項．

過程與方法目標： 1．通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；2．通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性．

情感與態度目標：由知識來源於實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識．，數學教案－用公式法解一元二次方程。

教學重、難點與關鍵：

重點：一元二次方程的意義及一般形式．

難點：正確識別一般式中的“項”及“係數”。

教輔工具：

教學程式設計：

程式

教師活動

學生活動

備註

創設

問題

情景

1．用電腦演示下面的.操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然後把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程．學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼並用的能力．

2．現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然後做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那麼應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題．

板書：“第十二章一元二次方程”．教師恰當的語言，激發學生的求知慾和學習興趣．

學生看投影並思考問題

通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源於實際，並且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中．同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處於非常重要的地位．

探

究

新

知

1

1．複習提問

（1）什麼叫做方程？曾學過哪些方程？

（2）什麼叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

（3）什麼叫做分式方程？

2．引例：剪一塊麵積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

引導，啟發學生設未知數列方程，並整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：方程的兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程．

一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．

3．練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

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一、出示學習目標：

1.繼續感受用一元二次方程解決實際問題的過程；

2.通過自學探究掌握裁邊分割問題。

二、自學指導：（閱讀課本P47頁，思考下列問題）

1.閱讀探究3並進行填空；

2.完成P48的思考並掌握裁邊分割問題的特點；

3.在理解的基礎上完成P48-49第8、9題（不精確，只留根號即可）。

探究3：要設計一本書的封面，封面長27cm,寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所佔面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？

分析：封面的長寬之比為27﹕21=9﹕7，中央矩形的長寬之比也應是9﹕7，則上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是。9﹕7

設上、下邊襯的寬均為9xcm,左、右邊襯的寬均為7xcm,則：

由中下層學生口答書中填空，老師再給予補充。

思考:如果換一種設法，是否可以更簡單?

設正中央的長方形長為9acm，寬為7acm，依題意得

9a·7a=（可讓上層學生在自學時，先上來板演）

2.P48-49第8、9題中下層學生在自學完之後先板演

效果檢測時，由同座的同學給予點評與糾正

9.如圖，要設計一幅寬20m，長30m的圖案，兩橫兩豎寬度之比為3∶2，若使彩條面積是圖案面積的四分之一，應怎樣設計彩條的寬頻？（討論用多種方法列方程比較）

注意點：要善於利用圖形的平移把問題簡單化！

三、當堂訓練：

1.如圖,在一幅長90cm,寬40cm的風景畫四周鑲上一條寬度相同的金色紙邊,製成一幅掛畫.如果要求風景畫的面積是整個掛畫面積的72%,那麼金邊的寬應是多少?

(只要求設元、列方程)

2.要設計一個等腰梯形的花壇，上底長100m，下底長180m。上下底相距80m，在兩腰中點連線出有一橫向甬道，上下兩底之見有兩條縱向的甬道，各甬道寬度相等，甬道的面積是梯形面積的六分之一,甬道的寬應是多少?

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一、教學目標

1、知識與技能目標：認識一元二次方程，並能分析簡單問題中的數量關係列出一元二次方程。

2、過程與方法：學生通過觀察與模仿，建立起對一元二次方程的感性認識，獲得對代數式的初步經驗，鍛鍊抽象思維能力。

3、情感態度與價值觀：學生在獨立思考的過程中，能將生活中的經驗與所學的知識結合起來，形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣。

二、教學重難點

重點：理解一元二次方程的意義，能根據題目列出一元二次方程，會將不規則的一元二次方程化成標準的一元二次方程。

難點：找對題目中的數量關係從而列出一元二次方程。

三、教學過程

(一)匯入新課

師：同學們我們就要開始學習一元二次方程了，在開始講新課之前，我們首先來看一看第二十二章的這張圖片，圖片上有一個銅雕塑，有哪位同學能告訴我這是誰嗎?

生：老師，這是雷鋒叔叔。

師：對，這是遼寧省撫順市雷鋒紀念館前的雷鋒雕像，雷鋒叔叔一生樂於助人，奉獻了自己方便了他人，所以即使他去世了，也活在人們心中，所以人們才給他做一個雕塑紀念他，同學們是不是也要向雷鋒叔叔學習啊?

生：是的老師。

師：可是原來紀念館的工作人員在建造這座雕像的時候曾經遇到了一個問題，也就是圖片下面的這個問題，同學們想不想為他們解決這個問題呢?

生：想。

師：同學們也都很樂於助人，好那我們看一看這個問題是什麼，然後帶著這個問題開始我們今天的學習一元二次方程。

(二)新課教學

師：我們來看到這個題目，要設計一座2m高的人體雕像，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等於下部與全部(全身)的高度比，雕像的下部應設計為全高?同學們用AC來表示上部，BC來表示下部先簡單列一下這個比例關係，待會老師下去看看同學們的式子。

(下去巡視)

(三)小結作業

師：今天大家學習了一元二次方程，同學們回去還要加強鞏固，做練習題的1、2(2)題。

四、板書設計

五、教學反思

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教材分析

1．本節在引言中的方程基礎上，首先通過兩個實際問題，進一步引出一元二次方程的具體例子，然後引導學生觀察出它們的共同點，得出一元二次方程的定義。

2．書中的定義是以未知數的個數和次數為標準，用文字的形式給出的。一元二次方程都可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的一般形式。

3、本節始終都有列方程的內容，這樣安排一方面是分雜湊方程這一教學難點，化整為零地培養由實際問題抽象出方程模型的能力；另一方面是為由一些具體的方程歸納出一元二次方程的概念。

學情分析

1、通過課堂練習，大部分學生對概念基本理解，能夠找出各項係數，但有少數學困生對於係數符號沒有掌握。

2、部分學生由於基礎較薄弱，用一元二次方程解決實際問題有一定的難度，解決這問題要以多練為主。

3、學生認知障礙點：一元二次方程與不等式和整式的綜合運用能力有待提高。

教學目標

1、從實際問題引出一元二次方程，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效數學模型，培養學生分析問題和解決問題的能力及用數學的意識。

2、使學生正確理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，並能將一元二次方程轉化為一般形式，正確識別二次項係數、一次項係數及常數項。

3、通過概念教學，培養學生的觀察、類比、歸納能力，同時通過變式練習，使學生對概念理解具備完整性和深刻性。

教學重點和難點

1、重點：概念的形成及一般形式。

2、難點：從實際問題引出一元二次方程；正確識別一般形式中的“項”及“係數”。

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教學目的

1.瞭解整式方程和一元二次方程的概念;

2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

教學難點和難點:

重點:

1.一元二次方程的有關概念

2.會把一元二次方程化成一般形式

難點:一元二次方程的含義.

教學過程設計

一、引入新課

引例：剪一塊麵積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

2.這個問題用什麼數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

3.讓學生自己列出方程( x(x十5)=150 )

深入引導：方程x(x十5)=150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎?

二、新課

1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上國中代數研究的主要物件是方程。這部分內容從七年級一直貫穿到九年級。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

2.什麼是—元二次方程呢?現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什麼區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決於未知數的次數是幾。如果方程未知數的次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程.(板書一元二次方程的定義)

3.強化一元二次方程的概念

下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?

(1)3x十2=5x—3：(2)x2=4

(2)(x十3)(3x·4)=(x十2)2; (4)(x—1)(x—2)=x2十8

從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然後再檢視這個方程未知數的次數是否是2。

4.一元二次方程概念的延伸

提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?

引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0 (a≠0)

1).提問a=0時方程還是一無二次方程嗎?為什麼?(如果a=0、b≠就成了一元一次方程了)。

2).講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的係數名稱.

3).強調：一元二次方程的一般形式中“=”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“=”的右邊必須整理成0。

強化概念(課本P6)

1.說出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數、常數項：

(1)x2十3x十2=O (2)x2—3x十4=0; (3)3x2-5=0

(4)4x2十3x—2=0; (5)3x2—5=0; (6)6x2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項：

(1)6x2=3-7x; (3)3x(x-1)=2(x十2)—4;(5)(3x十2)2=4(x-3)2

課堂小節

(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程(如果方程未知數的次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程);

(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c=0(a≠0)並且注意一元二次方程的一般形式中“=”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“=”的右邊必須整理成0;

(3)要很熟練地說出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項：二次項係數、一次項係數.

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教材分析

一元二次方程是一種數學建模的方法，它有著廣泛的實際背景，可以作為許多實際問題的數學模型。它體現了數學的轉化思想，學好一元二次方程是學好二次函式不可或缺的，一元二次方程是高中數學的奠基工程。是本書的重點內容，為後續學習打下良好的基礎。

學情分析

1、 經過兩年的合作，我們班的學生已比較配合我上課，同時九年級學生觀察、類比、概括、歸納能力也都比較強，不過對應用題的分析他們還是覺得很頭疼，在今後應用題的教學中需進一步加強。

2、 一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，一元二次方程是一次方程向二次方程的轉化，是低次方程轉向高次方程求解方法的階梯。一元二次方程又是二次函式的特例。

教學目標

一、知識目標

1、在分析、揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化為數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關係的工具，，增加對一元二次方程的感性認識.

2、理解一元二次方程的概念.

3、掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項係數、一次項係數及常數項.

二、能力目標

1、通過一元二次方程的引入，培養學生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.

2、由知識來源於實際，樹立轉化的思想，由設未知數、列方程向學生滲透方程的思想，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力.

四、情感目標

1、培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識.

2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識

教學重點和難點

教學重點: 一元二次方程的概念和它的一般形式

難點:1、從實際問題中抽象出一元二次方程。2、正確識別一般式中的“項”及“係數”