“資料分析觀念”的內涵及教學建議

“資料分析觀念”的內涵及教學建議數學教育熱點問題系列訪談錄

摘要：統計是資料分析的科學和藝術，統計課程的核心是發展學生的資料分析觀念。準確把握資料分析觀念的內涵是進行統計課程設計、教科書編寫和教學實施的必要前提和重要基礎。體會資料中蘊涵著資訊、認識到需要根據問題的背景選擇合適的方法、通過資料分析體驗隨機性是資料分析觀念的重要方面。義務教育階段統計教學關鍵是使學生想到用資料，願意“親近”資料，能從資料中提取資訊。

關鍵詞：資料分析觀念;教學建議

我國在基礎教育階段將統計作為重要的學習內容，隨著大家對統計教學的不斷探索和實踐，人們逐漸認識到對於統計學習而言，重要的不是畫統計圖、求平均數等技能的學習，而是發展學生的資料分析觀念。那麼，資料分析觀念到底體現在哪些方面呢?如何設計課程和實施教學，才能更好地發展學生的資料分析觀念呢?本文訪談了東北師範大學著名統計學家史寧中教授，並輔助於資料查詢等形式就這些問題提出了一些思考。

一、發展學生的資料分析觀念

問：您在多種場合不斷強調，無論哪一部分內容的學習，都應該抓住這部分的核心內容，那麼統計學習的核心內容是什麼呢?

▲史教授：首先必須明確的是，我們希望在課程中給出一些關鍵詞。關鍵詞是某部分學習的核心內容。核心內容不是指具體的知識點，甚至不是指具體的知識本身，而是概括很多知識的共性所反映出來的思想和思維方式，這個就叫做核心詞，或者叫做核心內容。統計最核心的就是資料分析，統計是處理資料的一門科學和藝術。在這部分內容中，我們提出了資料分析觀念的核心詞，就跟代數學習裡的數感、符號意識、模型等都是核心內容。

▲問：統計的核心是資料分析，那麼到底是什麼是資料呢，資料與數有什麼關係呢?

▲史教授：我們在義務教育階段處理的資料主要是用數來表達的，當然這些數都是有實際背景的。脫離實際問題的單純地數的研究是數與代數的內容，不是統計的內容。但是，這些年隨著資訊的迅速增長，我們需要擴大對資料的認識。事實上，現在的資料不僅僅是數，圖是資料、語句也是資料。比如，人們在網上經常用GOOGLE來進行檢索，GOOGLE是用統計的方法來進行語句檢索，此時統計處理的是語句，我們把這些都叫做資料。

▲問：能不能這樣理解，只要蘊含著一定資訊，無論是什麼表現形式，就是資料，統計能幫助人們從這些資料中提取出大量的資訊?

▲史教授：是這樣的。人們在實際生活和各行各業中面臨的資料越來越多，必須樹立利用資料的意識，掌握一些分析資料的方法和模型。所以，資料分析觀念是非常重要的。資料分析觀念主要體現在三個方面：第一，瞭解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集資料，通過分析做出判斷，體會資料中是蘊涵著資訊的。第二，瞭解對於同樣的資料可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。第三，通過資料分析體驗隨機性。

二、資料隨機性的內涵和教學

(一)數學隨機性的內涵

問：對於很多人而言，對第三點“通過資料分析體驗隨機性”都比較陌生。首先遇到的一個困難是，資料隨機性的涵義是什麼呢?

▲史教授：簡單而言，資料的隨機主要有兩層涵義：一方面對於同樣的事情每次收集到的資料可能會是不同的;另一方面只要有足夠的資料就可能從中發現規律。舉一個例子，袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定;另一方面，有放回重複摸多次(摸完後將球放回袋中，搖晃均勻後再摸)，從摸到的球的顏色的資料中就能發現一些規律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。

問：那麼，構成資料隨機性的原因主要有哪些呢?

▲史教授：一般來說，產生隨機有兩方面的原因。

一方面，是運用部分來推斷總體，我們知道這是統計的一個基本思想。這裡首先假設每一次實驗取得的資料是來源於一個總體的，這是很重要的一個假設。比如上面提到的摸球例子，第一需要假設摸的是同一個袋子裡的球，而且是有放回的摸;第二，摸之前需要晃一晃，搖晃均勻了。為什麼要強調這些呢，就是要保證每一次要處理的事情都是一樣的，資料是來源於一個總體的。有了這個假設後就去做重複實驗，每一次在摸之前，你不可能知道這次摸的是什麼結果，但是摸的次數多了，就能估計出來摸到各種結果的可能性是多大，由此推斷總體的情況。比如在上面的例子中，可以推斷袋子中什麼顏色的球多，各種顏色球的比例，如果知道了袋中球的總數，我們還可以推斷出各種球的數量。但是，由於是用部分來推斷總體，就不能擔保推斷一定是準確無誤的，而是允許結論可能出錯。好的統計方法的主要標誌就是出錯的可能性較小。

另一方面，是重複測量中的誤差。對一些資料，特別是連續型資料總是有測量誤差的，而產生誤差的原因是多方面的。比如多次測量同一人的身高，由於測量工具、觀察者的角度、測量時間等各種各樣的原因，每次測量的結果可能都是不一樣的，測量資料是隨機的。但是如果出現隨機誤差的平均是零，也就是有時候比真實結果大一點，有時候比真實結果小一點，平均下來零，這個時候就能研究了，如何進行研究這裡就不細談了。主要是以上兩方面原因構成了我們研究問題的隨機性。

(二)資料隨機性的教學

問：說到這裡，我感覺您非常強調運用統計(資料分析)來幫助學生體會隨機。不少老師有這樣的一個困惑，概率也是研究隨機現象的，在概率中教師也組織學生做了很多摸球、擲硬幣等遊戲。那麼為什麼又提出資料的隨機性呢?

▲史教授：我聽了一些課，老師們經常這樣處理：比如對於擲一枚均勻的.硬幣，先得到出現正面或反面的概率是二分之一，然後讓學生通過反覆擲硬幣去驗證這個結果(二分之一)。這裡有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現正面和反面的可能性是二分之一，這是數學(或者稱為概率)。這個二分之一是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次實驗也得不到二分之一，反而更加糊塗了。第二，運用定義的方式教學隨機，不能很好的培養學生的隨機觀念。

需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統計的思想來做實驗。統計是通過資料來獲取一些資訊，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統計上就會這樣設計實驗：先讓學生多次擲硬幣，計算出現正面的比例(頻率)，然後用頻率來估計一下出現正面的可能性是多大。如果這個可能性接近二分之一的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統計的思想。

對於先給出定義，教師往往比較習慣，而對於“逆過來”通過資料來進行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下上面的摸球的例子。同樣是一個袋子裡有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學生通過摸來驗證出現白球的可能性是五分之四、出現紅球的可能性是五分之一，這不是統計。統計是這樣的，告訴學生們袋子裡有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們去摸，摸到一定程度的時候，學生髮現摸出白球的次數比紅球的次數多，由此推斷袋子裡白球可能比紅球多。進一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球，這個是統計的過程。

我並不是反對前一種教法本身，而是說如果這麼教，蘊含的隨機思想並不強，學生也不感興趣，都知道了概率為什麼還要做實驗。而後來的這種教法，學生體會到每一次摸的結果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學生既體會了隨機，又感受到了資料中蘊含著資訊，我想這種類似於“猜謎”的活動學生也會很有興趣。

問：實際上，並不是簡單地贊成或反對做實驗，而是做實驗的目的。不是通過實驗去驗證概率是多少，而是通過實驗從資料中獲取資訊，對總體做一些推斷。說到做推斷，老師們還有一個困惑，因為資料是隨機的，用部分的資料進行估計有時可能會估計得準一些，有時會偏差很大。那麼這種推斷是不是有點“瞎猜”的味道，能不能保證這種估計是合理的。

▲史教授：這裡絕不是“瞎猜”。還是上面摸球的例子(袋子裡有5個球，4個白球，1個紅球)，我們知道如果真是隨機摸球的話，那麼出現白球的概率是五分之四。而實驗中，要使摸球的頻率剛好是 五分之四(十分之八)的可能性並不大。但是如果取一個範圍，比如在十分之七和十分之九之間，此時頻率落在這個範圍內，用它去進行估計是可以接受的。如果要使摸出白球的頻率落在這個範圍之間的可能性達到80%的話，通過計算只要做27次左右的實驗;如果要使95%的可能性落在這個範圍內的話，摸球的次數要增加，大概是60次左右。所以，實際上有相當多的科學依據在後邊支撐著我們做類似摸球的試驗。也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。

問：聽了您的解釋挺有啟發的。是不是雖然不能達到100%的精確，但無論實際情況需要多高的精確度，都可以計算出需要做多少次實驗來保證達到這個精確度?

▲史教授：是這樣的。因此，我們可以提供一些資料，如果想達到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社會上通過打電話做民意調查，不可能給所有擁有電話的人都打，如果調查允許在一定的誤差範圍內，通過計算可以提供至少需要打電話的數量。當然計算中需要概率的知識，從這些例子中我們也能看到統計與概率的聯絡。

問：通過上面的兩種教法和您的分析，我們可以感覺到概率是定義出來的，它的推理方式是主要是演繹;而統計是用資料來進行推斷，它的推理方式主要是歸納。兩種思維方式是不一樣的。

▲史教授：是這樣的。統計體現了與傳統數學不一樣的思路，而這種思路是培養學生歸納能力的最好方法之一。在義務教育階段，也有一些素材可以讓學生經歷歸納的過程，比如歸納一些公式和規律，但這些公式和規律往往都是準備好了的。很難找到讓學生真正通過歸納自己得到結論的素材，但是通過統計可以讓學生做一些，所以說，運用