《函式的基本性質》知識點總結
基礎知識：
1.奇偶性
（1）定義：如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
注意：
①函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
②由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變數（即定義域關於原點對稱）。
（2）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
①首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
②確定f(－x)與f(x)的關係；
③作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：一個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點成中心對稱；一個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸成軸對稱；
②設f(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2.單調性
（1）定義：一般地，設函式y=f(x)的定義域為I， 如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)），那麼就說f(x)在區間D上是增函式（減函式）；
注意：
①函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
②必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。
（3）設複合函式y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區間，B是對映g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增
（或減）函式，y= f(u)在B上也是增（或減）函式，則函式y= f[g(x)]
在A上是增函式；
②若u=g(x)在A上是增（或減）函式，而y= f(u)在B上是減（或增）函式，則函式y= f[g(x)]在A上是減函式。
（4）判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：
①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）； ④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（即指出函式f(x)在給定的區間D上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函式f(x)增函式g(x)是增函式；減函式f(x)減函式g(x)是減函式； 增函式f(x)減函式g(x)是增函式；減函式f(x)增函式g(x)是減函式。
④若函式yf(x)是偶函式，則f(xa)f(xa)；若函式yf(xa)是偶函式，則f(xa)f(xa).
3.函式的週期性
如果函式y＝f(x)對於定義域內任意的x，存在一個不等於0的常數T，使得f(x＋T)＝f(x)恆成立，則稱函式f(x)是周期函式，T是它的一個週期.
性質：
①如果T是函式f(x)的週期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的週期.
②若周期函式f(x)的週期為T，則f(x)（0）是周期函式，且週期為T||。
③若f(x)f(xa),則函式yf(x)的圖象關於點(,0)對稱; 若a2f(x)f(xa),則函式yf(x)為週期為2a的周期函式.
例題： 1.y1x2的遞減區間是 ；ylog1(x3x2)的單調遞增區間是 。 1x22.函式f(x)lg(21)的圖象（ ） 1xA.關於x軸對稱B. 關於y軸對稱C. 關於原點對稱 D. 關於直線yx對稱
3.設f(x)是定義在R上的奇函式，若當x0時，f(x)log3(1x)，則f(2)。
4.定義在R上的偶函式f(x)滿足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上遞增，則（ ）
A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對
5.討論函式f(x)x1的單調性。
6.已知奇函式f(x)是定義在(2,2)上的'減函式,若f(m1)f(2m1)0，求實數m 的取值範圍。
7.已知函式f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。
習題：
題型一：判斷函式的奇偶性
1.以下函式：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函式是 ，偶函式是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函式是。
2.已知函式f(x)=xx,那麼f(x)是( )
A.奇函式而非偶函式 B. 偶函式而非奇函式
C.既是奇函式又是偶函式 D.既非奇函式也非偶函式
題型二：奇偶性的應用
1.已知偶函式f(x)和奇函式g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的影象分別如 圖（2-3）所示，則關於x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。
圖(2-3)
2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數，若f(7)7，則f(7)____
3.下列函式既是奇函式，又在區間1,1上單調遞減的是（）
A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x
4.已知函式yf(x)在R是奇函式，且當x0時，f(x)x22x，則x0時，f(x)的 解析式為 。
5.若fx是偶函式,且當x0,時, fxx1,則fx10的解集是（ ）
A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三：判斷證明函式的單調性
1.判斷並證明f(x)
22在(0,)上的單調性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調性
題型四：函式的單調區間
1.求函式ylog0.7(x23x2)的單調區間。
2.下列函式中，在(,0)上為增函式的是（ ）
24x8 3(a0) C.y2 1(x) x12
3.函式f(x)x
A.0,1的一個單調遞增區間是（ ） xB.,0C.0,1D.1,
4.下列函式中，在(0，2)上為增函式的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=
5.函式y=54xx2的遞增區間是( )
A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)
題型五：單調性的應用
1.函式f(x)=x+2(a-1)x+2在區間(-∞，4)上是減函式，那麼實數a的取值範圍是( )
A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]
2.已知函式f(x)=2x-mx+3，當x∈(-2，+∞)時是增函式，當x∈(-∞，-2)時是減函式，則f(1)等於( )
A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數． 2242 D.y=x-4x+3 x
3.若函式f(x)x3ax2bx7在R上單調遞增，則實數a, b一定滿足的條件是（ ）
A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2
4.函式f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恆成立，則b的最小值為 。
5.已知偶函式f(x)在(0，+∞)上為增函式，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 題型六：週期問題
1.奇函式f(x)以3為最小正週期，f(1)3，則f(47)為( )
A.3B.6C.-3 D.-6
2.設f(x)是定義在R上以6為週期的函式，f(x)在(0,3)內單調遞增，且y=f(x)的圖象關於直線x =3對稱，則下面正確的結論是()
A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)
C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)
x3.已知fx為偶函式,且f2xf2x,當2x0時,fx2,則f2006
（ ）
A．2006 B．4C．4 D． 1 4
4.設f(x)是(,)上的奇函式，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(47.5)等於_____
5.已知函式f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個週期.
6、已知函式f(x)對任意實數x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函式,
求證:2m是f(x)的一個週期.
7、函式f(x)是定義在R上的奇函式，且f(－1)＝3，對任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.
