《點陣中的規律》的教學實錄

一、談話引入

師：從小我們就學數數、用數字，那麼對於數字的發明和發展過程，你們都哪些瞭解？（學生交流課前蒐集的相關資訊）

生1：古時候人們用石子來計數，比如打一隻兔子就擺一塊石子。

生2：還有用繩子打結的，有幾個人就打幾個結。

生3：我知道我們現在用的數字是印度人發明的，從阿拉伯傳到我國的，所以叫阿拉伯數字。

師：大家瞭解的資訊真不少！阿拉伯數字的發明，使我們的記錄和計算更加方便，但是在表現數字的特徵方面，有時候圖形會更加直觀。今天老師請來了一點陣圖形朋友點（老師在黑板上畫點），看到這個點，你能快速地想到哪個數字？

生齊：1。

師：不要小看了這個小小的點，早在2000多年前，古希臘的數學家們就是從這樣一個小小的點開始研究，發現了由許多個這樣的點組成的圖形中的規律，還給這些圖形取了一個好聽的名字，叫點陣。同學們想不想過一把當數學家的癮，自己來尋找這些規律？

生齊：想。

師：今天，我們就一起來探究點陣中隱含的規律。（板書課題：點陣中的規律）

二、探究正方形點陣中的規律

1、探究一組正方形點陣的規律。

師：我們一起來看看數學家們當年研究的點陣圖，邊看邊說出各個點陣的點子數。

（依次出示前四個正方形點陣圖，並逐步引導學生想像、猜測：下一個點陣圖會是什麼樣子呢？）

生：第一個是1個點；第二個是4個點；

師：在心裡想第三個、第四個點陣圖是什麼樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？

生1：一樣。就是9個點。

生2：我知道第四個點陣有16個點，肯定是的。

（隨著點陣圖的依次出現，學生的思維逐漸活躍，當第三個點陣圖出現的時候，學生不用數，已經忍不住地說出了點數。說明學生已經發現了這組正方形點陣中的規律。但這時，教師沒有急於讓學生髮表自己的看法，而是給學生留出了完善自己想法的時間，同時也暗示學生：規律的呈現不能依靠一個或幾個圖形來歸納，應該有耐心地繼續自己的觀察活動。）

師：除了能說出各個點陣的點數之外，仔細觀察點陣圖：你們還有什麼其它的發現？

生1：第一個點陣是1個點，其餘的都是正方形的。

生2：我發現從第一個圖開始點子數分別是加3、加5、加7。

生3：我發現它們的點子數能寫成11、22、33、44。

師：你們真了不起！這種形狀的點陣就是正方形點陣，大家不但用數字表示每個點陣的點數，還能用算式來表示這組點陣的規律。根據剛才發現的規律，想一想：第五個點陣是什麼樣子呢？自己畫出來，並用算式表示點數。

（學生活動：獨立畫出第五個55的點陣圖，全班交流。）

師：照這樣的規律繼續畫下去，第9個點陣的點數如何用算式來表示？第100個呢？第n個呢？在小組內交流一下。

生：第九個點陣表示為99；

第100個點陣表示為100100；

第n個點陣就表示為nn。

（結合發現的規律，引導學生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點陣規律的模型。）

師：那麼你們覺得每個正方形點陣的點子總數與什麼有關係？在小組內討論交流。

生1：點子總數與正方形點陣每一排的點子數有關係。

生2：就是邊長乘邊長。

生3：還與是第幾個有關係，第一個就是11，第二個就是22，第三個就是33，一直這樣數下去。

（學會用簡單的語言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）

師：說得真好！每個正方形點陣的點子總數可以看作是一個相同數字相乘的積，這個數字與點陣的序號有關，與每個正方形點陣每排的點子數也有關係。

2、同一個點陣的不同劃分中的規律。

師：剛才我們研究了一組正方形點陣中隱含的規律，那麼對於同一個點陣來說，如果劃分的方法不同，所呈現的規律也就不同。

請大家仔細觀察第五個正方形點陣中點的劃分方法，你能發現什麼規律？與同桌交流你的想法。

生1：我發現都是用折線分開的。

生2：我發現從短的線開始，每條線內的點分別是1、3、5、7、9。

生3：這個正方形點陣的點數用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。

師：大家的發現真不少！那如果把每條線所包圍的點子數記下來，如何用算式來表示？

學生彙報：

第一條線： 1 = 1；

第二條線： 1＋3 = 4；

第三條線： 1＋3＋5 = 9；

第四條線： 1＋3＋5＋7 = 16；

第五條線： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；

師：你們覺得這組算式有什麼特點？

生1：一個算式比一個算式多加一個數。

生2：它們的得數正好是剛才那一排點陣的點子數。

生3：都是連續的奇數在相加。

師：是從幾開始的連續奇數呢？

生：是從1開始的連續奇數在相加。

師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點陣，它的點數該如何用算式來表示？

生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。

師：剛才我們是把這個55的正方形點陣用折線進行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？如何用算式表示？在小組內研究一下。

學生彙報：

您現在正在閱讀的北師大版數學五年級上冊《點陣中的規律》教學實錄文章內容由收集!本站將為您提供更多的精品教學資源!北師大版數學五年級上冊《點陣中的規律》教學實錄生1：我們是用橫線劃分的，算式是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。

生2：還可以用豎線劃分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。

生3：這些都可以寫成是55 ＝ 25。

生4：我們的方法不一樣。我們是用斜線劃分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。

師：這種劃分方法有新意！仔細觀察這個算式，你們發現了什麼？

生1：算式裡最大的數是5。

生2：這個算式是從1開始加到5再加回到1。

生3：這個算式的兩邊是對稱的，5在中間。

生4：這個點陣的點數是就中間那個數字5乘5的積。

師：照這樣的規律類推，第六個正方形點陣的點數如何表示？第9個呢？第n個呢？

生1：第六個點陣的點數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1。

生2：第九個點陣的點數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。

生3：第n個點陣的點數是，我說不完。

師：說不完，我們可以藉助什麼來表示？

生：用省略號，這樣表示：1＋2＋3＋＋n＋＋3＋2＋1。

師：你太聰明瞭，幫我們解決了一個大難題，謝謝你。

（在這裡讓學生尋找正方形點陣的不同劃分方法，把教材分散處理的關於正方形點陣的不同劃分方法集中探究，便於學生思維的延續和拓展，不至於出現思維上的斷層。這樣設計既符合學生的探究心理和學習習慣，又給學生提供了自主探究的空間，體現了學生學習的自主性，還用另一種方式解讀了練一練中的第一題。培養了學生從不同的角度去發現問題，總結概括規律的能力。）

三、延伸應用，形成策略

師：除了我們剛才研究的正方形點陣，請大家猜猜看，還會有什麼形狀的點陣呢？

生1：長方形點陣。

生2：三角形點陣。

生3：圓形點陣。

生4：橢圓形點陣。

師：請大家嘗試運用前面學會的方法探究長方形點陣規律。在小組內合作研究：如何用算式表示每個長方形點陣的點子數？

（學生分組活動）

學生彙報：

生：這四長方形點陣的可以用算式12；23；34；45來表示。

師：根據自己發現的規律，請你獨立畫出第五個長方形點陣並用算式表示出點數。

（學生獨立畫圖並寫出算式，互相交流。）

生：第六個長方形點陣的點子總數用算式表示是56。

師：你們覺得自己所寫的'算式中的數字與圖形之間有什麼關係？在小組內討論交流。

生1：乘法算式中的第二個因數總是比第一個因數多1。

生2：第一個算式的後面一個數是第二個算式開頭的一個數，有點像詞語接龍。

生3：算式中的第一個因數是長方形點陣的豎排點數，第二個因數是長方形點陣的橫排點數。

師：這個算式與點陣的排列序號有關嗎？

生1：第一個點陣是12，第二個點陣是23，第三個點陣是34，是第幾個點陣就是用幾去乘。

生2：是用點陣的排列序號去乘比它大1的數。

師：照這樣繼續寫，你能寫出第n個長方形點陣的點數嗎？

生齊：n（n＋1）。

師：看來對於任何一個點陣，只要我們認真觀察研究，總能發現其獨特的規律。下面請大家認真觀察給出的四個三角形點陣的規律，快速畫出第五個三角形點陣並說出點數。

生：（舉起自己的點陣圖）有15個點。

師：對自己畫出的第五個三角形點陣進行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點數。

（學生活動）

全班交流：

生1：我是橫著分的，算式是1＋2＋3＋4＋5＝15。

生2：我是斜著劃分的，算式也是1＋2＋3＋4＋5＝15。

生3：我是豎著劃分的，算式跟他們一樣，也是1＋2＋3＋4＋5＝15，就是連續的自然數的和。

生4：我的是用折線劃分的，算式可以寫為1＋5＋9＝15，就是每次都多4個。

（對於前面的三種劃分方法，都在我的預設之內，學生到此，已經很輕鬆地用語言表述出自己的想法：這樣的三角形點陣的點數是從1開始的連續自然數的和。而對於第四種劃分方法，是我沒有預想到的。有一個孩子卻用非常強烈地要求，表達了自己的這種劃分方法，並且說出了這個算式依次遞加4的規律。我真的很慶幸給了他一個機會，他用如此精彩的回答回報了我，也許課堂教學永遠的魅力就在於這預設外的驚喜吧。）

師：同學們真的很了不起！真正具有未來數學家的風範，用自己的聰明才智，發現並總結了各個不同的點陣圖中隱藏的規律。那麼你們覺得應該從哪些方面來探究點陣的規律呢？

生1：我會仔細看清點陣是什麼形狀的。

生2：我覺得應該數清每一行的點子數是多少。

生3：我認為還要看清前後兩個點陣的變化。

（在這裡不需要學生說出多麼專業的、深奧的數學方法，只是引導學生對自己探究性學習方法的一個總結，儘管語言可能不夠簡練，總結不夠到位，只要學生是用自己的語言在表述自己的想法，就是對學生思維訓練層次的一個提升，一種飛越。）

聯絡生活：

師：點陣的知識在生活中有著廣泛的應用，比如北京奧運會開幕式上的擊缶表演、太極表演等，都是把一個人看作了一點，來排列有規律的隊形。你還知道什麼地方運用了點陣的相關知識？

生1：五子棋。

生2：解放軍閱兵式的方隊。

生3：節日裡擺放的花壇

生4：我們參加市八運會排練的團體操。

師：看來生活中用到點陣知識的地方還真不少。課後自己也設計一幅美麗的點陣圖，下節課我們一起展評。

（在這裡，把學生的課堂學習延伸到課外，連結到學生已有的相關生活經驗，使得原本陌生的數學知識與學生的日常生活自然對接，體現了數學與生活的密切聯絡。學生課後的自主設計作業，給了學生極大的創造空間，真正體現數學來源於生活，又應用於生活。）