高中數學求值域的方法

高中數學求值域有時候對學生來說十分的困難，這也是一個考試的難點重點，那麼有什麼方法嗎？下面小編就來和大家說說高中數學求值域的方法吧！

　一.觀察法

通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。

例1求函式y=3+√(2-3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函式的值域為{y?y≥3｝.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。練習：求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函式法

當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。

例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函式的`反函式，再求出其定義域。

解：顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。

這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。練習：求函式y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函式的值域為{y?y1｝)

　三.配方法

當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

例3：求函式y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。

配方法是數學的一種重要的思想方法。練習：求函式y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

四.判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。

例4求函式y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當y=2時,方程(*)無解。∴函式的值域為2點評：把函式關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。

練習：求函式y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y0)。

　五.最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。

解：∵3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。∴函式z的值域為{z?-5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函式的值域。

練習：若√x為實數，則函式y=x2+3x-5的值域為()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。

　六.圖象法

通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。

例6求函式y=?x+1?+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。

解：原函式化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函式值y≥3,所以，函式值域[3，+∞]。

點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函式值域的方法較多，還適應通過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。