有關函式概念的發展歷史

1.早期函式概念幾何觀念下的函式

十七世紀伽俐略(leo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函式或稱為變數關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函式的關係。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函式概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函式的一般意義，大部分函式是被當作曲線來研究的。

1673年，萊布尼茲首次使用function(函式)表示冪，後來他用該詞表示曲線上點的橫座標、縱座標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 流量來表示變數間的關係。

2.十八世紀函式概念──代數觀念下的函式

1718年約翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在萊布尼茲函式概念的基礎上對函式概念進行了定義：由任一變數和常數的任一形式所構成的量。他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的'函式，並強調函式要用公式來表示。

1755，尤拉(r，瑞士，1707-1783) 把函式定義為如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式。

18世紀中葉尤拉(r，瑞，1707-1783)給出了定義：一個變數的函式是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表示式。他把約翰貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式和超越函式，還考慮了隨意函式。不難看出，尤拉給出的函式定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

3.十九世紀函式概念──對應關係下的函式

1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 從定義變數起給出了定義：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函式。在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞，同時指出對函式來說不一定要有解析表示式。不過他仍然認為函式關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的侷限。

1822年傅立葉(Fourier，法國，17681830)發現某些函式也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函式概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函式的認識又推進了一個新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805-1859) 突破了這一侷限，認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函式概念，指出：對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函式。這個定義避免了函式定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函式定義。

等到康託(Cantor，德，1845-1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用集合和對應的概念給出了近代函式定義，通過集合概念把函式的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了變數是數的極限，變數可以是數，也可以是其它物件。

4.現代函式概念──集合論下的函式

1914年豪斯道夫(dorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念序偶來定義函式，其避開了意義不明確的變數、對應概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義序偶使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

1930 年新的現代函式定義為若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函式，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。