九年級下學期數學知識點
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1 二次函式及其影象
二次函式(quadratic function)是指未知數的最高次數為二次的多項式函式。二次函式可以表示為f(x)=ax^2 bx c(a不為0)。其影象是一條主軸平行於y軸的拋物線。
一般的，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式
y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;
頂點式
y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點座標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式y=ax∧2的影象相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;
交點式
y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線] ;
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點求函式解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引匯出交點式的係數a=y1/(x1*x2) (y1為截距)
求根公式
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
求根公式
x是自變數，y是x的二次函式
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角座標系中作出二次函式y=2x的平方的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函式影象
如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函式將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身影象，旁邊註明函式。
2畫出對稱軸，並註明X=什麼
3與X軸交點座標，與Y軸交點座標，頂點座標。拋物線的性質
軸對稱
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
頂點
2.拋物線有一個頂點P，座標為P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2;-4ac=0時，P在x軸上。
開口
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab< 0 )，對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式(一次函式)的斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
拋物線與x軸交點個數
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b05/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函式，在
{x|x>-b/2a}上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2 c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當x=1時 y=a b c
②當x=-1時 y=a-b c
③當x=2時 y=4a 2b c
④當x=-2時 y=4a-2b c
二次函式的.性質
8.定義域：R
值域：(對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮);②[t，正無窮)
奇偶性：當b=0時為偶函式，當b≠0時為非奇非偶函式。
週期性：無
解析式：
①y=ax^2 bx c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;
⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，圖象與x軸交於兩點：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b √Δ]/2a，0);
Δ=0，圖象與x軸交於一點：
(-b/2a，0);
Δ<0，圖象與x軸無交點;
②y=a(x-h)^2 k[頂點式]
此時，對應極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)
對稱軸X=(X1 X2)/2 當a>0 且X≥(X1 X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≤(X1 X2)/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連
用)。
交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點座標設交點式。兩交點X值就是相應X1 X2值。
26.2 用函式觀點看一元二次方程
1. 如果拋物線 與x軸有公共點，公共點的橫座標是 ，那麼當 時，函式的值是0，因此 就是方程的一個根。
2. 二次函式的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。
26.3 實際問題與二次函式
在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函式的最大值或最小值。
