數學多邊形內角和公式的推導方法

利用多邊形的內角和來解決問題是我們在解題時經常遇到的，而知道多邊形的外角和是多少也同樣重要.在學習中我們知道任意多邊形的外角和都為360，內角和公式為(n-2)180，利用這兩個知識點可以解決多邊形的內角、外角、邊數及對角線等問題，現就一些例題進行一下例析.

一.求多邊形的邊數

例1.一個正多邊形的內角和是900，則這個多邊形的邊數是_________.

分析：設此多邊形邊數為n，利用多邊形內角和公式，得到(n-2)180=900，解得n=7，所以這個多邊形的邊數為7.

例2.一個多邊形的內角和與外角和相等，那麼這個多邊形是__________.

分析：設多邊形邊數為n，其內角和為(n-2)180，外角和為360，因為這個多邊形內、外角和相等，可得(n-2)180=360解得n=4.所以這個多邊形是四邊形.

例3.如果正多邊形的一個外角為72，那麼它的'邊數是( )

分析：其中一種思考方法為：因為多邊形的外角和為360，而一個外角為72，所以它的邊數

為36072另一種思考方法為：因為正多邊形的一個外角為72，可以得出與它相鄰的內角為180-72=108，因多邊形的內角和為(n-2)180，可得(n-2)180=108n，解這個方程得：n=5.

例4.一個多邊形的內角和是外角和的4倍，求這個多邊形的邊數.

分析：此題可設多邊形的邊數為n，因為多邊形內角和為(n-2)180，多邊形的外角和為360，所以根據題意可得：(n-2)180=3604，解得n=10.所以這個多邊形的邊數為10.

二.求多邊形的內角度數

例3：正六邊形每個內角的度數為_________.

分析：因為多邊形的外角和為360，所以正六邊形每個外角的度數為 ,所以每個內角的度數為180-60=120此題也可利用多邊形的內角和來解為 .

三.求多邊形對角線的條數

例4：一個多邊形的每個外角都為36，則這個多邊形的對角線有_______條.

分析：因為這個多邊形的每個外角都是36，所以這個多邊形是正多邊形.設這個正多邊形的邊數為n，則n= ，所以這個多邊形是正十邊形.因為多邊形對角線的總條數為 ，所以這個多邊形的對角線的條數為 .

四.實際應用

1.某裝修公司到商場買同樣一種多邊形的地磚平鋪地面，在以下四種地磚中，你認為該公司不能

買( )

A 正三角形的地磚 B 正方形地磚 C 正五邊形地磚 D 正六邊形地磚

分析：要使買的同樣一種多邊形的地磚能平鋪地面，則它的幾個角能構成360，因正三角形三個內角和為180，所以它符合標準;正方形的四個內角和為360，所以它也符合要求;而正五邊形它的一個內角為108，360不能被108整除，所以正五邊形不符合要求;用同樣的道理可知正六邊形符合要求.所以此題選C.