有理數的加減法法則及技巧
有理數的加減法法則
有理數的加法法則:符號相同的兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加;符號相反的兩數相加,絕對值相等時,和為零;絕對值不等時,取絕對值較大的數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值;一個數同零相加仍得這個數。有理數的減法法則:減去一個數,等於加上這個數的相反數。
有理數的運演算法則
1有理數的加法同樣擁有交換律和結合律(和整數得交換律和結合律一樣)用字母表示為:交換律:a+b=b+a 兩個數相加,交換加數的位置,和不變。結合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。三個數相加,先把前兩個數相加,或者先把後兩個數相加,和不變。
有理數減法法則:減去一個數,等於加上這個數的相反數。其中:兩變:減法運算變加法運算,減數變成它的相反數。一不變:被減數不變。可以表示成: a-b=a+(-b)。
有理數的加減法技巧
在有理數的計算中,若能根據算式的結構特徵,選擇適當的方法,靈活運用計算技巧,就可以化繁為簡,化難為易,提高運算的速度和準確性.
一、正數、負數分別相加
例1計算 6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9).
分析:從左到右,逐項依次相加,較為複雜,而運用加法交換律和結合律,把正數、負數分別相加就能使問題單純化.
解:6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9)
=(6+7+5+14)+[(-3)+(-8)+(-12)+(-9)]
=32+(-32)=0.
二、整數、分數(小數)分別相加
例2計算 7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854.
分析:如果逐項依次相加,比較複雜,而運用加法交換律和結合律,將整數、分數、小數分別相加,可使問題簡化.
解:7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854
=(7.1146+2.8854)+[ 9+ (-3)]+[(-3)+(-2)]
=10+6+(-5)=10.
三、分離整數後分別相加
例3 計算-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26 .
分析:帶分數相加,可把整數與分數分離後,把它們的整數部分與分數部分(或小數部分)分別結合相加.
解:-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26
=-4-7+13-3-5.26+10.26
=(-4-7+13-3-5+10)+(--+-)-0.26+0.26
=4+(-+)=4+(-1)=2.
四、同分母或便於通分的分數分別相加
例4計算-+-2+---.
分析:整體通分計算,運算量大,可將同分母或便於通分的分數分別相加.
解:-+-2+---
=(-+)+(--)+(-2-)
=--3=-3.
五、和為整數的數結合相加
例5計算(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)
分析:根據算式的結構特徵,可將和為整數的數結合相加.
解:(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)
=(-3-16)+(15.8-5)+(-0.75+4)
=-20+10+4=-6.
六、和為零的數結合相加
例6計算1-2-3+4+5-6-7+8+…+20xx-2006-20xx+2008-20xx+2010
分析:逐項運算,顯然不可取,若根據算式的結構特徵,將和為零的數結合相加,就可以巧妙地解答題目.
解:1-2-3+4+5-6-7+8+…+20xx-2006-20xx+2008-20xx+2010
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(20xx-2006-20xx+2008)+(-20xx+2010)
=0+0+…+0+1=1.
七、去掉絕對值符號後再結合相加
例7計算|-1|+|-|+|-|+…+|-|
分析:若先算出絕對值符號內各式的值,再去絕對值符號,然後進行運算,費時費力,故應該先確定絕對值符號內各式的正負,再去絕對值符號,然後再結合相加.
解:|-1|+|-|+|-|+…+|-|
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1+(-)+(-)+…+(-)-
=1-=.
八、先“借”後“還”
例8計算
11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998.
分析:由於數值較大,直接計算,容易出錯,我們可以先分別“借”來9,8,7,6,5,4,3,2,再“還”9,8,7,6,5,4,3,2,這樣運算量就小多了.
解:11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998
=(11+9)+(192+8)+(1993+7)+(19994+6)+(199995+5) +(1999996+4)+ (19999997+3)+ (199999998+2)-(9+8+7+6+5+4+3+2)
=222222220-44=222222176.
九、拆分組合
例9計算 199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901.
分析:這道題加數多,數值大,直接計算比較困難,若根據算式特徵,拆分組合,可將計算過程簡化.
解:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901
=(100+200+300+…+9900)+(99+98+98+…+2+1)
=00+
=495000+4950=499950.
練習:
1. 計算(+ )+(-3.5)+(-6)+(+1.5)+(+6)+(+ ).
2. 計算20xx-2007-20xx+2009.
3. 計算-1-2+4-5+1-10.8.
答案:1.-1;2.-;3.-14.