八年級下學期的試題
一、選擇題(每小題3分，共36分)
1. 在實數範圍內，若 有意義，則 的取值範圍是( )
A. B.
C. D.
2.(2015湖北孝感會考)已知 ，則代數式 的值 是( )
A. B. C. D.
3. 下列計算正確的是( )
A. B. +
C. D.
4.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.一組對角相等 B.對角線互相平分
C.一組對邊相等 D.對角線互相垂直
5.(2015蘭州會考)如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分?e為E，F，連線EF，則△AEF的面積是( )
A.4 B.3 C. D.
6.直角三角形兩直角邊長的和為7，面積為6，則斜邊長為( )
A.5 B. C.7 D.
7.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A.三內角之比為1∶2∶3 B.三邊長的平方之比為1∶2∶3
C.三邊長之比為3∶4∶5 D.三內角之比為3∶4∶5
8.已知直角三角形兩邊的長分別為3和4，則此三角形的周長為( )
A.12 B.7+
C.12或7+ D.以上都不對
9.如圖，梯子AB靠在牆上，梯子的底端A到牆根O的距離為2 m，梯子的頂端B到地面的距離為7 m，現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到牆根O的距離等於3m，同時梯子的頂端B下降至B′，那麼BB′( )
A.小於1 m B.大於1 m C.等於1 m D.小於或等於1 m
第9題圖 第10題圖
10.如圖所示，將一根長為24 cm的筷子，置於底面直徑為15 cm，高8 cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度為h，則h的取值範圍是( )
A.h≤17 cm B.h≥8 cm C.15 cm≤h≤16 cm D.7 cm≤h≤16 cm
11. 如圖所示，將矩形ABCD沿對角線BD摺疊，使點C與點C′重合.若AB=2,則C′D的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12. 如圖所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為( )
A.14 B.15 C.16 D.17
二、填空題(每小題3分，共24分)
13. 使 有意義的 的取值範圍是 .
14. 當 時， =_____________.
15.(2015江蘇泰州會考)如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP 沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交於點O，且OE=OD，則AP的長為__________.
第15題圖 第16題圖
16.如圖所示，在△ABC中，AC=6，AB=BC=5，則BC邊上的高AD=______.
17.在△ 中，若三邊長分別為9，12，15，則以兩個這樣的三角形拼成的長方形的面積為__________.
18.已知直角三角形的兩直角邊長分別為 和 ，則斜邊上的高為 .
19.如圖所示,將菱形紙片ABCD摺疊,使點A恰好落在菱形的對稱中心O處,摺痕為EF,若菱形ABCD的邊長為2 cm,∠A=120°,則EF= cm.
20.如圖所示，在矩形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，連線DE和BF，分別取DE，BF的中點M，N，連線AM，CN，MN，若AB= ，BC= ，則圖中陰影部分的面積為 .
三、解答題(共60分)
21.(6分)如圖，已知等腰△ 的周長是 ，底邊 上的高 的長是4，求這個三角形各邊的長.
22.(6分)有一道練習題：對於式子 先化簡， 後求值，其中 .小明的解法如下： = = = = .小明的解法對嗎?如果不對，請改正.
23.(6分)已知 ， 為實數，且 ，求 的值.
24.(6分)閱讀下列解題過程：
已知 為△ 的三邊長，且滿足 ，試判斷△ 的形狀.
解：因為 ， ①
所以 . ②
所以 . ③
所以△ 是直角三角形. ④
回答下列問題：
(1)上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤?該步的序號為 .
(2)錯誤的原因為 .
(3)請你將正確的解答過程寫下來.
25.(6分)觀察下列勾股數：
根據你發現的規律，解答下列問題：
(1)當 時，求 的值;
(2)當 時，求 的值;
(3)用(2)的結論判斷 是否為一組勾股數，並說明理由.
26.(6分)如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連線DE.
(1)證明:DE∥CB;
(2)探索AC與AB滿足怎樣的數量關係時，四邊形DCBE是平行四邊形.
27.(8分)已知：如圖所示，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點.
(1)求證：△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什麼特殊四邊形，並證明你的結論;
(3)當AD∶AB= 時，四邊形MENF是正方形(只寫結論， 不需證明).
28.(8分)如圖所示，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交於點O，DH⊥AB於點H，連線OH，求證：∠DHO=∠DCO.
29.(8分)(2015甘肅武威會考)如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交於點F，連線CE，DF.
(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①當AE= cm時，四邊形CEDF是矩形;
②當AE= cm時，四邊形CEDF是菱形.
八年級下學期的試題參考答案
1.C 解析：若 有意義，則 ≥ ，且
2.C 解析：把 代入代數式 ，得
故選C.
3.C 解析： B中的二次根式的被開方數不同，不能合併;C項正確;D項
4.B 解析：利用平行四邊形的判定定理知B正確.
5.B 解析：如圖，連線AC，BD，則△ABC與△ADC都是等邊三角形.
∵ AE⊥BC，AF⊥DC，∴ BE=CE,CF=DF,
∴ ，
∵ E，F分別為BC，CD的中點，∴ EF為△CBD的中位線.
易求S△CEF
第5題答圖
.
∵ AB=4，BE=2，∴ AE= ，
則 ,∴ = .
6.A 解析：設直角三角形的兩條直角邊長分別為 斜邊長為 ，
則 ，所以 ，
所以
7.D 解析：判斷一個三角形是不是直角三角形有以下方法：①有一個角是直角或兩銳角互餘;②較短兩邊長的平方和等於第三邊長的平方;③一邊的中線等於這條邊的一半.由A得有一個角是直角;B，C滿足勾股定理的逆定理.故選D.
8.C 解析：因為直角三角形的斜邊不明確，結合勾股定理可求得第三邊的長為5或 ，所以直角三角形的周長為3+4+5=12或3+4+ =7+ ，故選C.
9.A 解析：移動前後梯子的長度不變，即Rt△ AOB和Rt△ A′OB′的斜邊長相等.
由勾股定理，得32+B′O 2=22+72，即B′O= m，
則6 m
10.D 解析：筷子在杯中的最大長度為 =17(cm)，最短長度為8 cm，則筷子露在杯子外面的'長度滿足(24-17)cm≤h≤(24-8)cm，即7 cm≤h≤16 cm，故選D.
11.B 解析:因為四邊形ABCD是矩形，所以CD=AB=2.由於沿BD摺疊後點C與點C′重合，所以C′D=CD=2.
12.C 解析:根據菱形的性質得到AB=BC=4，由∠B=60°得到△ABC是等邊三角形，所以AC=4.故以AC為邊長的正方形ACEF的周長為16.
13. 解析：由4x-1≥0，得 .
14. 解析：當 時，
15.4.8 解析：如圖所示：
∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8.
根據題意得△ABP≌△EBP，
∴ EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8.
在△ODP和△OEG中，
∴ △ODP≌△OEG，
∴ OP=OG，PD=GE，∴ DG=EP.
設AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，
∴ CG=8-x，BG=8-(6-x)=2+x.
根據勾股定理，得BC2+CG2=BG2，即62+(8-x)2=(x+2)2，
解得x=4.8.∴ AP=4.8.
16.4.8 解析：設DC=x，則BD=5-x.
在Rt△ABD中，AD2=52-(5-x)2，在Rt△ADC中，AD2=62-x2，
∴ 52-(5-x)2=62-x2，解得x=3.6.故AD= =4.8.
17.108 解析：因為 ，
所以△ 是直角三角形，且兩條直角邊長分別為9，12，
則以兩個這樣的三角形拼成的長方形的面積為 .
18. 解析:由勾股定理，得斜邊長為 ，
根據三角形面積公式，得 ，解得 .
19. 解析:本題綜合考查了菱形的性質、勾股定理和三角形中位線的性質.
連線BD，AC.∵ 四邊形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∵ ∠BAD=120°，∴ ∠BAC=60°，∴ ∠ABO=90°-60°=30°.
∵ ∠AOB=90°，∴ AO= AB= ×2=1(cm).
由勾股定理得BO= cm，∴ DO= cm.
∵ 點A沿EF摺疊與點O重合，∴ EF⊥AC，EF平分AO.
∵ AC⊥BD，∴ EF∥BD，∴ EF為△ABD的中位線，
∴ EF= BD= ×( + )= (cm).
20. 解析:在Rt△ADE中，M為DE的中點，
故S△AEM=S△ADM,所以S△AEM= S△AED，
同理S△BNC= S△BFC，S□DMNF= S□BEDF，
所以S陰影= S矩形ABCD= ABBC= × .
21.解：設 ，由等腰三角形的性質，知 .
由勾股定理，得 ，即 ，解得 ，
所以 .
22.解：小明的解法不對.改正如下：
由題意，得 ，∴ 應有 .
∴ = = = = .
23.解：由題意，得 ，且 ，
∴ ，∴ .
∴ .
24.(1)③
(2)忽略了 的可能
(3)解：因為 ，
所以 .
所以 或 .故 或 .
所以△ 是等腰三角形或直角三角形.
25.解：(1)觀察給出的勾股數中，最大數與較大數的差是 ，即 .
因為 ，所以 ，
所以 ，所以 .
(2)由(1)知 .
因為 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 .
(3)由(2)知， 為一組勾股數，
當 時， ，
但 ，所以 不是一組勾股數.
26.分析:(1)根據∠BCD=90°+60°=150°,因此只要證明∠EDC=30°即可.根據已知條件及圖形的位置關係，連線CE,通過證明△ADE≌△CDE，得到∠EDC=30°，所以∠EDC+∠DCB=180°，從而證得DE∥CB.
(2)此題可通過假設四邊形DCBE是平行四邊形，求出AC與AB的數量關係.
(1)證明:如圖所示，連線CE,
∵ E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴ CE= AB=AE.
∵ △ACD是等邊三角形，∴ AD=CD.
在△ADE和△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,
∴ △ADE≌△CDE(SSS).∴ ∠ADE=∠CDE=30°.
∵ ∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°,
∴ ∠EDC+∠DCB=180°,∴ DE∥CB.
(2)解:∵ ∠DCB=150°,
若四邊形DCBE是平行四邊形，
則DC∥BE,∠DCB+∠B=180°,∴ ∠B=30°.
在Rt△ACB中，AC= AB或AB=2AC.
∴ 當AC= AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形.
點撥:(1)利用直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半進行轉化,說明線段相等是證明兩個三角形全等的關鍵;(2)對於條件探索性問題常通過逆向思維的方式得到解決.
27.分析:本題考查了矩形的性質以及菱形和正方形的判定.(1)用SAS證明△ABM和△DCM全等.(2)先證四邊形MENF是平行四邊形，再證它的一組鄰邊ME和MF相等. (3)由(2)得四邊形MENF是菱形，當它是正方形時，只需使∠BMC是直角，則有∠AMB+∠CMD=90°.又∵ ∠AMB=∠CMD,∴ △AMB和△CMD都是等腰直角三 角形.
(1)證明:∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠D=90°，AB=DC.
又∵ MA=MD，∴ △ABM≌△DCM(SAS).
(2)解:四邊形MENF是菱形.
理由：∵ CF=FM,CN=NB，∴ FN∥MB.
同理可得：EN∥MC，
∴ 四邊形MENF是平行四邊形.
∵ △ABM≌△DCM，∴ MB=MC.
又∵ ME= MB,MF= MC,∴ ME=MF.
∴ 平行四邊形MENF是菱形.
(3)解:2∶1.
28.分析:根據菱形的性質可得點O是BD的中點，由直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，可得OH=OB，從而有△OHB是等腰三角形，所以∠OHB=∠OBH=∠ODC.由等角的餘角相等即可證出∠DHO=∠DCO.
證明:∵ 四邊形ABCD是菱形，
∴ OD=OB,∠COD=90°,∠ODC=∠OBH.
∵ DH⊥AB於點H，∴ ∠DHB=90°.
∴ HO= BD=OB,∴ ∠OHB=∠OBH.
∴ ∠OHB=∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°.
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°.
∴ ∠DHO=∠DCO.
點撥:本題綜合考查了菱形的性質、直角三角形的性質及等腰三角形的性質.菱形的對角線互相垂直平分為充分利用直角三角形的性質創造了條件.
29.(1)證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ CF∥ED，∴ ∠FCG=∠EDG.
∵ G是CD的中點，∴CG=DG.
在△FCG和△EDG中，
∴ △FCG≌△EDG(ASA),
∴ FG=EG.
∵ CG=DG，∴ 四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①解：當AE=3.5 cm時，平行四邊形CEDF是矩形.
理由是：過A作AM⊥BC於M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5 cm.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ ∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3 cm，BC=AD=5 cm.
∵ AE=3.5 cm，∴ DE=1.5 cm =BM.
在△MBA和△EDC中，
∴ △MBA≌△EDC(SAS)，
∴ ∠CED=∠AMB=90°.
∵ 四邊形CEDF是平行四邊形，
∴ 四邊形CEDF是矩形.
②當AE=2 cm時，四邊形CEDF是菱形.
理由是：∵ AD=5 cm，AE=2 cm，∴ DE=3 cm.
∵ CD=3，∠CDE=60°，
∴ △CDE是等邊三角形，∴ CE=DE.
∵ 四邊形CEDF是平行四邊形，
∴ 四邊形CEDF是菱形.
