高中數學易錯點總結

一、集合與簡易邏輯

1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.

2.對集合 , 時,必須注意到“極端”情況： 或 ;求集合的子集時是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集.

3.對於含有 個元素的有限集合 ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為 4.“交的補等於補的並,即 ”;“並的補等於補的交,即 ”.

5.判斷命題的真假 關鍵是“抓住關聯字詞”;注意：“不‘或’即‘且’,不‘且’即‘或’”.

6.“或命題”的真假特點是“一真即真,要假全假”;“且命題”的真假特點是“一假即假,要真全真”;“非命題”的真假特點是“一真一假”.

7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命題等價於逆否命題,但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設、推矛、得果.注意：命題的否定是“命題的非命題,也就是‘條件不變,僅否定結論’所得命題”,但否命題是“既否定原命題的條件作為條件,又否定原命題的結論作為結論的所得命題” .

8.充要條件

二、函 數

1.指數式、對數式

2.(1)對映是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;對映中第一個集合 中的元素必有像,但第二個集合 中的元素不一定有原像( 中元素的像有且僅有下一個,但 中元素的原像可能沒有,也可任意個);函式是“非空數集上的對映”,其中“值域是對映中像集 的`子集”.

(2)函式影象與 軸垂線至多一個公共點,但與 軸垂線的公共點可能沒有,也可任意個.

(3)函式影象一定是座標系中的曲線,但座標系中的曲線不一定能成為函式影象.

3.單調性和奇偶性

(1)奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性,則其單調性完全相同.偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性,則其單調性恰恰相反.注意：(1)確定函式的奇偶性,務必先判定函式定義域是否關於原點對稱.確定函式奇偶性的常用方法有：定義法、影象法等等.對於偶函式而言有： .

(2)若奇函式定義域中有0,則必有 .即 的定義域時, 是 為奇函式的必要非充分條件.

3)確定函式的單調性或單調區間,在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑑定)、導數法;在選擇、填空題中還有：數形結合法(影象法)、特殊值法等等.

(4)既奇又偶函式有無窮多個( ,定義域是關於原點對稱的任意一個數集).

(7)複合函式的單調性特點是：“同性得增,增必同性;異性得減,減必異性”.複合函式的奇偶性特點是：“內偶則偶,內奇同外”.複合函式要考慮定義域的變化.(即複合有意義)

4.對稱性與週期性(以下結論要消化吸收,不可強記)

(1)函式 與函式 的影象關於直線 ( 軸)對稱.推廣一：如果函式 對於一切 ,都有 成立,那麼 的影象關於直線 (由“ 和的一半 確定”)對稱.推廣二：函式 , 的影象關於直線 (由 確定)對稱.

(2)函式 與函式 的影象關於直線 ( 軸)對稱.

(3)函式 與函式 的影象關於座標原點中心對稱.推廣：曲線 關於直線 的對稱曲線是 ;曲線 關於直線 的對稱曲線是 .

(5)類比“三角函式影象”得：若 影象有兩條對稱軸 ,則 必是周期函式,且一週期為 .如果 是R上的周期函式,且一個週期為 ,那麼 .特別：若 恆成立,則 .若 恆成立,則 .若 恆成立,則 .三、數 列1.數列的通項、數列項的項數,遞推公式與遞推數列,數列的通項與數列的前 項和公式的關係： (必要時請分類討論).

注意：

2.等差數列 中：

(1)等差數列公差的取值與等差數列的單調性.

(2) 兩等差數列對應項和(差)組成的新數列仍成等差數列.

(3) 仍成等差數列.(4“首正”的遞減等差數列中,前 項和的最大值是所有非負項之和;“首負”的遞增等差數列中,前 項和的最小值是所有非正項之和;

(5)有限等差數列中,奇數項和與偶數項和的存在必然聯絡,由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數,則“偶數項和”-“奇數項和”=總項數的一半與其公差的積;若總項數為奇數,則“奇數項和”-“偶數項和”=此數列的中項.

(6)兩數的等差中項惟一存在.在遇到三數或四數成等差數列時,常考慮選用“中項關係”轉化求解.

(7)判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、影象法(也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數列 中：

(1)等比數列的符號特徵(全正或全負或一正一負),等比數列的首項、公比與等比數列的單調性.

(2) 成等比數列; 成等比數列 成等比數列.

(3)兩等比數列對應項積(商)組成的新數列仍成等比數列.

(4) 成等比數列.

(5)“首大於1”的正值遞減等比數列中,前 項積的最大值是所有大於或等於1的項的積;“首小於1”的正值遞增等比數列中,前 項積的最小值是所有小於或等於1的項的積;

(6)有限等比數列中,奇數項和與偶數項和的存在必然聯絡,由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數,則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積;若總項數為奇數,則“奇數項和”=“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和.

(7)並非任何兩數總有等比中項.僅當實數 同號時,實數 存在等比中項.對同號兩實數 的等比中項不僅存在,而且有一對 .也就是說,兩實數要麼沒有等比中項(非同號時),如果有,必有一對(同號時).在遇到三數或四數成等差數列時,常優先考慮選用“中項關係”轉化求解.

(8)判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數列與等比數列的聯絡

(1)如果數列 成等差數列,那麼數列 ( 總有意義)必成等比數列.

(2)如果數列 成等比數列,那麼數列 必成等差數列.

(3)如果數列 既成等差數列又成等比數列,那麼數列 是非零常數數列;但數列 是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數列有公共項,那麼由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列,且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列,那麼常選用“由特殊到一般的方法”進行研討,且以其等比數列的項為主,探求等比數列中那些項是他們的公共項,並構成新的數列.

注意：(1)公共項僅是公共的項,其項數不一定相同,即研究 .但也有少數問題中研究 ,這時既要求項相同,也要求項數相同.(2)三(四)個數成等差(比)的中項轉化和通項轉化法.